【推荐2】如图1，在ABC中，BD是AC边上的中线，将DBA绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°） 得到DEA（如图2），我们称DEA为DBC的“旋补三角形”．DEA的边EA上的中线DF叫做DBC的“旋补中线”．

(1)在图2，图3，图4中，DEA为DBC的“旋补三角形”，DF是DBC的“旋补中线”．
①如图2，∠BDE+∠CDA＝      °；
②如图3，当DBC为等边三角形时，DF与BC的数量关系为DF＝      BC；
③如图4，当∠BDC＝90°时，BC＝4时，则DF长为      ；
(2)在图2中，当DBC为任意三角形时，猜想DF与BC的关系，并给出证明．
(3)如图5，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，DA＝6，BE⊥AD，E为垂足．在线段BE上是否存在点P，使PDC是PAB的“旋补三角形”？若存在，请作出点P，不需证明，简要说明你的作图过程．

【推荐3】如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图．

(1)在图1中，作的中线；
(2)在图1中，在上画一点，使；
(3)已知是边上任意一点，
①在图2中，为格点．在上画一点，使最小；
②在图3中，在上画一点，使．

【推荐1】感知：如图①，在正方形中，是一点，F是AD延长线上一点，且，求证：；
拓展：在图①中，若G在AD，且，则成立吗？为什么？

运用：如图②在四边形中，，，，E是AB上一点，且，，求DE的长．

【推荐3】（1）如图，于，是等腰直角三角形，，等腰直角的顶点、分别在射线，射线上滑动顶点，与点不重合在滑动过程中，点A到直线的距离_____（填“”、“”或“”）．
（2）如图，在（1）的条件下，等腰直角中，，且的顶点、也分别在射线、射线上滑动顶点、与点不重合，连接交于点，试探究与的数量关系：______，并证明你的结论．
（3）如图，若，，在和保持原来滑动状态的过程中，则的面积的最大值为______．

【推荐2】如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一动点（不与B、C重合），连结AE，将△ABE沿AE翻折，使点B落在点F处，延长EF交DC于点G，连结AG，过点E作EH⊥AE交AG的延长线于点H，连结CH．

(1)观察猜想：∠EAG是否为定值，若为定值，则∠EAG=______°；
(2)尝试探究：如图2，用等式表示线段CH与BE的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：如图3，连结BD，分别与AE、AG交于点M、N．若AB=5，，求DN的长．

【推荐3】把△ABC放置在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（-6，0），点C的坐标为（8，0），M，N分别是线段AB，AC上的点，将△AMN沿直线MN翻折后，点A落在x轴上的A′处．

Ⅰ当MN∥x轴时，判断△A'CN的形状．
Ⅱ如图，当A'M⊥AB时．
①求A'的坐标；②求MN的长．
Ⅲ当△A'MB是等腰三角形时，直接写出A'的坐标．

【推荐1】（1）【学习心得】
于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．

例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　 　°．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．
（3）【问题拓展】
如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是　 　．

【推荐2】【问题情境】如图①，在四边形中，，求证：A、B、C、D四点共圆．
小吉同学的作法如下：连接，取的中点O，连接，请你帮助小吉补全余下的证明过程；
【问题解决】如图②，在正方形中，，点E是边的中点，点F是边上的一个动点，连接，作于点P．
（1）如图②，当点P恰好落在正方形对角线上时，线段的长度为______；
（2）如图③，过点P分别作于点M，于点N，连接，则的最小值为______．

【推荐3】如图1，在矩形中，，，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆．

(1)当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ；
(2)在点从点向点运动过程中，
①圆心的运动路径长是 ；
②当与直线相切时，求的值．
(3)连接，交于点，如图2，当时，求的值．