如图，在
中，
是边
上的高，在这个三角形内有一个内接矩形
，矩形的一边在上，另两个顶点分别在
上．
(1)当
，
，
时，求
的长；
(2)当
，
，，
时，求出
的值；
(3)当，，当矩形的面积最大时，求这个矩形的边长．
中，是边上的高，在这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在上，另两个顶点分别在上．(1)当
，，时，求的长；(2)当
，，，时，求出的值；(3)当
，，当矩形的面积最大时，求这个矩形的边长．
更新时间：2023-02-08 22:18:25
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名校
【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线
与
轴交于点
，点
，与
轴交于点
，其中
，
，
．
（1）求该抛物线的函数表达式：
（2）若点
是轴上的点，且以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
（3）点
是抛物线的对称轴上的一点，点
是坐标平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
与轴交于点，点，与轴交于点，其中，，．（1）求该抛物线的函数表达式：
（2）若点
是轴上的点，且以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．（3）点
是抛物线的对称轴上的一点，点是坐标平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
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【推荐2】已知有如下抛物线：
，经过A，B，C，已知A为
，
，请回答以下题目：
(1)求解该抛物线的解析式并求出顶点的坐标；
(2)若点
在轴上方的抛物线上，点
在点上方：①当
为
为底边的等腰三角形时，求出点D的坐标；
②若
时，求出点D的坐标；
③若直线
交y轴于点N，过B作的平行线交y轴于点M，当D点运动时，求出
的最大值以及此时D的坐标．
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0），若直线与抛物线有交点，求n的取值范围；
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(0.4)
【推荐1】如图，在
中，
，
，
．动点P从点A出发，以
的速度沿
边向终点B运动，过点P作
交或
于点Q，D为
中点，以、
为邻边构造矩形
，设矩形与重叠部分图形的面积为
，点P的运动时间为
．的长；
(2)当点E落在边上时，求t的值；
(3)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．
中，，，．动点P从点A出发，以的速度沿边向终点B运动，过点P作交或于点Q，D为中点，以、为邻边构造矩形，设矩形与重叠部分图形的面积为，点P的运动时间为．
的长；(2)当点E落在
边上时，求t的值；(3)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．
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【推荐2】请阅读下列材料，并完成相应的任务．
三等分角是古希腊三大几何问题之一．如图（1），任意∠ABC可被看作是矩形BCAD的对角线BA与边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点
，交DA的延长线于点F．若
，则射线BF是∠ABC的一条三等分线．
证明：如图（2），取EF的中点G，连接AG，∵四边形BCAD是矩形，∴
，AD
BC．在Rt△AEF中，点G是EF的中点，∴
……
(1)任务一：上面证明过程中得出“
”的依据是___；
(2)任务二：完成材料证明中的剩余部分；
(3)任务三：如图（3），在矩形ABCD中，对角线AC的延长线与∠CBE的平分线交于点F，若
，
，请直接写出BF的长．
三等分角是古希腊三大几何问题之一．如图（1），任意∠ABC可被看作是矩形BCAD的对角线BA与边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点
，交DA的延长线于点F．若，则射线BF是∠ABC的一条三等分线．证明：如图（2），取EF的中点G，连接AG，∵四边形BCAD是矩形，∴
，ADBC．在Rt△AEF中，点G是EF的中点，∴……(1)任务一：上面证明过程中得出“
”的依据是___；(2)任务二：完成材料证明中的剩余部分；
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，，请直接写出BF的长．
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【推荐3】【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，
是
的半径，
．点P在上，将点P沿的方向平移到点Q，使
．当点P在上运动一周时，试探究点Q的运动路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学想利用平行四边形的知识解决该问题：如图②，在线段上截取
，连结
、
，由平行四边形的性质可推出点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．下面是部分证明过程：
证明：在线段上截取，连接、．
1°当点P在直线外时，
2°当点P在直线上时，
易知
．
综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．
请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】在上述问题的条件下，记点M是线段的中点，如图②．若点P在上运动一周，则点M的运动路径长为 ．
【拓展提升】如图③，在矩形
中，
，
．点P是平面内一点，
，将点P沿的方向平移到点Q，使
．点M是线段上的任意一点，连结
．设线段长度的最大值为a，最小值为b，则
．
是的半径，．点P在上，将点P沿的方向平移到点Q，使．当点P在上运动一周时，试探究点Q的运动路径．【问题解决】经过讨论，小组同学想利用平行四边形的知识解决该问题：如图②，在线段
上截取，连结、，由平行四边形的性质可推出点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．下面是部分证明过程：证明：在线段
上截取，连接、．1°当点P在直线
外时，| 证明过程缺失 |
上时，易知
．综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．
请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】在上述问题的条件下，记点M是线段
的中点，如图②．若点P在上运动一周，则点M的运动路径长为 ．【拓展提升】如图③，在矩形
中，，．点P是平面内一点，，将点P沿的方向平移到点Q，使．点M是线段上的任意一点，连结．设线段长度的最大值为a，最小值为b，则 ．
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(0.4)
【推荐1】如图1，在中，
，动点从点出发，沿折线
匀速运动至点停止．若点的运动速度为
，设点的运动时间为
．
的长度为
，与
的函数图象如图2所示．
(1)当恰好平分
时，求的值；
(2)满足（1）的条件下，求证：
．
中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为．的长度为，与的函数图象如图2所示． (1)当
恰好平分时，求的值；(2)满足（1）的条件下，求证：
．
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【推荐2】如图，为的直径，
为弦的中点，连接
并延长交弧于点，过点作
，交
的延长线于点．
（1）求证：
是的切线；
（2）连接、
、
．填空
①当
的度数为_______时，四边形
为菱形；
②当
时，四边形
的面积为_______．
为的直径，为弦的中点，连接并延长交弧于点，过点作，交的延长线于点．（1）求证：
是的切线；（2）连接
、、．填空①当
的度数为_______时，四边形为菱形；②当
时，四边形的面积为_______．
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，求
的值．
