【推荐3】如图，点B、C分别在射线AM、AN上，且∠MAN为锐角，∠MAN内有一动点P，使得∠BPC＝90°．

(1)若∠MAN＝45°，且∠APB＝∠APC．
①求证：△CPA∽△APB；
②连接BC，若BC⊥AC，求的值；
(2)若∠CBP＝∠BAP＝30°，AP＝3，AB＝8，求AC的长．

【推荐1】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴另一交点为点以每秒个单位长度的速度在线段上由点向点运动点不与点和点重合，设运动时间为秒，过点作轴垂线交轴于点，交抛物线于点．
             
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，过点作轴垂线交轴于点，连接交于点，当时，求的值；
(3)如图，连接交于点，当是等腰三角形时，求出的值．

【推荐2】抛物线交轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴正半轴于点C．

(1)如图1，当时，
①直接写出点的坐标；
②若抛物线上有一点P，使，求点P的坐标．
(2)如图2，平移直线交抛物线于M，N两点，直线与直线交于点G，若点G在定直线上运动，求m的值．

【推荐1】综合与实践：
问题情景：如图1、正方形与正方形的边，在一条直线上，正方形以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α，在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接，．
   
(1)操作发现：当正方形旋转至如图2所示的位置时，求证：；
(2)操作发现：如图3，当点E在延长线上时，连接，求的度数；
(3)问题解决：如图4， 如果，，，请直接写出点G到的距离．

【推荐2】如图1，平面直角坐标系中，B、C两点的坐标分别为B（0，3）和C（0，﹣），点A在x轴正半轴上，且满足∠BAO＝30°．

（1）过点C作CE⊥AB于点E，交AO于点F，点G为线段OC上一动点，连接GF，将△OFG沿FG翻折使点O落在平面内的点O′处，连接O′C，求线段OF的长以及线段O′C的最小值；
（2）如图2，点D的坐标为D（﹣1，0），将△BDC绕点B顺时针旋转，使得BC⊥AB于点B，将旋转后的△BDC沿直线AB平移，平移中的△BDC记为△B′D′C′，设直线B′C′与x轴交于点M，N为平面内任意一点，当以B′、D′、M、N为顶点的四边形是菱形时，求点M的坐标．

【推荐3】问题提出：

(1)如图1，在四边形中，，，．求的值．
问题解决：
(2)有一个直径为30cm的圆形配件，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞，要求，，并使切割出的四边形孔洞的面积尽可能小，试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形？若存在，请求出四边形面积的最小值，及此时的长；若不存在，请说明理由．