【推荐1】定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．

(1)[尝试初探]点______“美好点”（填“是”或“不是”）；
(2)[深入探究]①若“美好点”在双曲线上，则______；
②在①的条件下，在双曲线，画出，求的值；
(3)[拓展延伸]我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”．
①求y关于x的函数表达式；
②对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

【推荐2】如图，已知在平面直角坐标系内有，，．

(1)画出向右平移三个单位的，并写出的坐标：______；
(2)将绕点逆时针方向旋转后得到，画出旋转后的图形，并写出坐标：______；
(3)求（1）中所扫过的面积．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，已知、、三点，其中a、b、c满足．

      

(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)求的面积；
(3)在第一象限内有一点，其中，是否存在点P，使得四边形的面积等于面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图①，已知是等腰直角三角形，，点D是的中点．作正方形，使点A，C分别在、上，连接、．

(1)试猜想线段和的数量关系，请直接写出你得到的结论；
(2)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于），如图②，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．

【推荐2】阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．

(1)判断图1中的中点四边形的形状，并说明理由；
(2)如图2，在四边形中，点M在上且和为等边三角形，E、F、G、H分别为、、、的中点，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

【推荐3】如图，等腰中，，，边上的中垂线分别交，于点、，的平分线交于点．连接、、．

(1)求证：为等边三角形；
(2)猜想、、三条线段之间的数量关系，并说明理由．

【推荐1】已知：如图，在中，，于点D，E是线段上一点，连接、．求证：．
   

【推荐2】如图，在中，已知，，是的平分线，，垂足是E，和的延长线交于点F．

(1)在图中找出与全等的三角形，并证明你的结论；
(2)证明：．

【推荐3】（1）如图，在四边形中，，点是边上一点，，，连接、，求证是等腰直角三角形．

（2）如图，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，直线交轴与点，且，则点的坐标为______．

【推荐1】如图，AB为量角器（半圆O）的直径，等腰直角△BCD的斜边BD交量角器边缘于点G，直角边CD切量角器于读数为60°的点E处（即弧AE的度数为60°），第三边交量角器边缘于点F处．

（1）求量角器在点G处的读数α（0°＜α＜90°）；
（2）若AB=10cm，求阴影部分面积．

【推荐2】如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边和等边，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ.
求证：为等边三角形。

【推荐3】如图，以的边为直径作交边于点D，恰有．

(1)求证：与相切；
(2)在上取点E，使得，若，，求阴影部分的面积．