【推荐3】在中，，，是的角平分线．

(1)如图，点、分别是线段、上的点，且，与的延长线交于点，请猜测线段与线段关系并证明你的结论．
(2)如图，点、分别在和的延长线上，且，的延长线交于点，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
(3)连接，若，，求的长．

【推荐1】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），直线ABx轴，在矩形OCDE中，OC＝4，OE＝3，以点C在第一象限内直线AB上时为初始位置，将矩形OCDE以点O为中心逆时针旋转，旋转角为α．直线OC，直线DE分别与直线AB相交于点M，N．

(1)如图1，当顶点D落在直线AB上时（此时点N与点D重合）．
①求证：△MAO≌△MCD；
②求点M的横坐标；
(2)如图2，当顶点D落在y轴正半轴上时，请直接写出点M的横坐标；
(3)在矩形OCDE旋转过程中，当0°＜α＜90°时，若AN＝3AM，请直接写出此时点M的横坐标．

【推荐2】如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA=5米，进口，且AB=2米，出口C点距水面的距离CD为1米，B、C之间的水平距离DE的长度为多少米？

【推荐3】小明在学完了平行四边形这个章节后，想对“四边形的不稳定性”和“四边形的判定”有更好的理解，做了如下的探究：他将个木棍和一些钉子组成了一个正方形和平行四边形（如图），且，在一条直线上，点落在边上．经小明测量，发现此时、、三个点在一条直线上，，．

(1)求此时的长度；
(2)设的长度为，______（用含的代数式表示）；
(3)小明接着探究，在保证、位置不变的前提条件下，从点向右推动正方形，直到四边形刚好变为矩形时停止推动（如图2）．若此时，求的长度．

【推荐2】如图1，在△ABC中，I是内心，AB＝AC，O是AB边上一点，以点O为圆心，OB为半径的⊙O经过点I．
   
（1）求证：AI是⊙O的切线；
（2）如图2，连接CI交AB于点E，交⊙O于点F，若tan∠IBC＝，求．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，点D在反比例函数 的图象上，已知点C的坐标为，平行四边形ABCD的面积为64

(1)求反比例函数的解析式；
(2)点E为BC与反比函数图象的交点，且，求点E的坐标；