【推荐1】如图，以△ABC的两边AB和AC为腰在△ABC外部作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°．
（1）连接BE、CD交于点F，如图①，求证：BE＝CD，BE⊥CD；
（2）连接DE，AM⊥BC于点M，直线AM交DE于点N，如图②，求证：DN＝EN．

【推荐2】如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD=8，DE=6，求BE的长．

【推荐3】如图，在中，，垂足分别为，点在的延长线上，点在线段，且，连接．
   
(1)求证：；
(2)求的度数．

【推荐1】已知，如图，，，交于．若，

(1)求证：
(2)与相等吗？若相等请说明理由．

【推荐2】如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上．

(1)求证：；
(2)若，空白部分面积为12，求的长．

【推荐3】已知：为等边三角形，D、E分别为线段延长线上的点，且．作直线，点B关于直线的对称点为F，连接分别交直线于G、H．设．

(1)请你根据题意，补全图形；
(2)连接，
①判断：_________；（填“>”、“<”或“=”）
②求的大小；（用含有的式子表示）
(3)试猜想和之间的数量关系，并证明．

【推荐1】如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以、为邻边作矩形，连接，．

   

(1)求证：①；
②矩形是正方形；
(2)求的值．

【推荐2】2023年3月5日是“向雷锋同志学习”60周年纪念日．某数学小组测量校内雷锋雕像（图1）的高度，如图2，眼睛在距离地面的点E处，测得雷锋雕像的最高点A的仰角为32°（每层楼高为），眼睛在距离三楼地面的C点，测得雷锋雕像的最高点A的俯角为．已知测量点C，求雷锋雕像的高度（结果精确到．参考数据：，，）．

【推荐3】人教版初中数学教科书八年级下册第53页设置了如下一个“思考”栏目：
思考
如图，矩形的对角线，相交于点O．我们观察，在中，是斜边上的中线，与有什么关系？

经过思考与探究，从而得到了直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
现在，我们一起来探究这条性质的证明过程：
如图1：在中，，是斜边上的中线．
求证：．
证明：延长至点E，使，连接，．
……

(1)请你根据以上提示，结合图形，写出完整的证明过程．
(2)定理应用：
如图2，中，，D为边上一点，于点E，连接，M为的中点，的延长线交于点F，连接，．
①与的数量关系是______．
②若是的平分线，且，则______°．

【推荐1】清泉阁是南宁园博园中的最高建筑．某数学兴趣小组利用周末到清泉阁进行室外测量实践活动．如图，在清泉阁最大的观景台上，选取测量点D，测得点D到清泉阁最高点A的仰角，点D到目标点C的俯角，．已知清泉阁的高，请计算测量点D到目标点C的距离（结果取整数）．（参考数据：，，）

【推荐2】如图，港口B位于港口A北偏东37°的方向，两港口距离为30海里．在港口A处测得一艘军舰在北偏东45°方向的C处，在港口B处测得该军舰在北偏东51°方向．求该军舰距港口B的距离BC．（结果保留整数）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈1.25）

【推荐3】如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置P的铅直高度PB．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）