【推荐1】（1）问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则线段AE、BD的数量关系式为_____，AE、BD所在直线的位置关系为_____．

（2）深入探究：如图2，在（1）的条件下，若点A、E、D在同一直线上，CM为△CDE中DE边上的高，则∠ADB的度数为_____，线段CM、AD、BD之间的数量关系式为______．请说明理由；

（3）解决问题：如图3，已知△ABC中，AB=7，BC=3，∠ABC=45°，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠CAD=90°，AC=AD，连接BD，则BD的长为______．

【推荐3】在和中，点在边上，，．

(1)若．
i）如图1，当时，连接，猜想并求线段，，之间的数量关系；
ii）如图2，当时，过点作的垂线，交边于点，若，，求线段的长；
(2)如图3，已知，过点作的垂线，交边于点，若，，当时，则线段的长为________．

【推荐1】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=6，BC=8，点D是BC边上的一个动点（D不与B、C点重合），作DE⊥AB，垂足为E. 连接AD，设CD=x，DE=y．

(1)当E点为AB的中点时，求CD的长；
(2)求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
(3)过B作DE的平行线交AD的延长线于F，当△BDF为以BD为腰的等腰三角形时，直接写出CD的长度．

【推荐2】【定义学习】
定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”．
【判断尝试】
（1）在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“对直四边形”的是______ ；（填序号）
（2）如图，四边形是对直四边形，若，，，，则边的长是______ ；
【操作探究】
如图，在菱形中，，，于点，请在边上找一点，使得以点、、、组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出的长是______ ；
【拓展延伸】
如图，在正方形中，，点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒、、个单位长度的速度，分别沿正方形的边、、方向运动保持，再分别过点、作、的垂线交于点，连接、．
（1）试说明：四边形为对直四边形．
（2）在此运动过程中，动点的运动路径长是______ ；
【实践应用】
某加工厂有一批四边形板材，形状如图所示，其中米，米，，现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长是______ ．
   

【推荐3】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D从点B出发，沿B→C方向运动到C（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝30°，DE交线段AC于E．
（1）在点D的运动过程中，若∠BDA＝100°，求∠DEC的大小；
（2）在点D的运动过程中，若AB＝DC，请证明△ABD≌△DCE；
（3）若BC＝6cm，点D的运动速度是1cm/s，运动时间为t（s）．在点D的运动过程中，是否存在这样的t，使得△ADE的形状是直角三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

【推荐1】几何综合：已知：点是边上一动点，作，点、点分别是边、上的点，且满足，，连接；设（常数）．

(1)证明推断：若．如图1，
①求证：；
②推断：当，时， ；
(2)类比探究：若．如图2，当时，试写出线段、、与常数之间一个相等关系，并证明；
(3)拓展应用：若．如图3，设，，当，时，求常数的值和线段的长度．

【推荐1】如图1，有等边和等边，将绕点顺时针旋转，得到图2所示的图形．
   
(1)求证：；
(2)如图3，若，，且旋转角为时，求的度数；
(3)如图4，连接，并延长交于点，若旋转至某一位置时，恰有，，求的值．

【推荐2】如图，两个形状、大小完全相同的含有、的直角三角板如图①放置，、与直线重合，且三角板、三角板均可绕点逆时针旋转．
   
(1)如图①，则           °．
(2)如图②，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转旋转一定角度，平分，平分，求；
(3)如图③，在图①基础上，若三角板开始绕点逆时针旋转，转速为，同时三角板绕点逆时针旋转，转速为，（当转到与重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间．

【推荐3】（1）如图1，在正方形网格纸中，的三个顶点都在格点上，把绕着点A顺时针旋转，点B的对应点是，点C的对应点为，连接，则______．
（2）如图2，在等边内有一点P，且，，，若把绕着点B逆时针旋转得到，求的度数和的长．
（3）如图3，把（2）中的“在等边内有一点P”改为：“在等腰直角三角形内有一点P”，且，，，，求的度数．