【推荐1】如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点运动，当点不与点、重合时，过点作交折线于点，取的中点，设点的运动时间为秒．

(1)线段______．
(2)直接写出线段的长，（用含的代数式表示）
(3)当直线将分成的两部分能拼成一个新的三角形（不重叠）时，求的值．
(4)取的中点，作直线，当直线垂直于一边时，求的值．

【推荐2】（1）问题背景：如图①，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
（2）拓展应用：如图②，在△ABC和△ADE中，，，点D在BC边上，AC与DE相交于点F，且，求的值．

【推荐3】已知线段AB⊥直线l于点B，点D在直线l上，分别以AB，AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F
（1）当点F在线段BD上时，如图1，线段DF，CE，CF之间的数量关系是　 　；
（2）当点F在线段DB的延长线上时，如图2．
①（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请重新写出正确的结论，并写出证明过程；
②若等边△ABC和等边△ADE的边长分别是和，DF＝3，求BE的长．

【推荐1】【基础巩固】
   
（1）如图1，在中，D为上一点，．求证：．
【尝试应用】
（2）如图2，在平行四边形中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，，求的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形中，E是上一点，F是内一点，，， ，，，则菱形的边长为______．

【推荐2】如图1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，点D从C点出发沿着CA方向以2个单位每秒的速度向终点A运动，同时点E从点A出发沿AB方向以1个单位每秒的速度向终点B运动．设点D，E的运动时间为t秒，DF⊥BC于F．
（1）求证：AE＝DF；
（2）如图2，连接EF，AC＝12．
①是否存在t，使得四边形AEFD为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②连接DE，当△DEF是直角三角形时，求t的值．

【推荐3】如图，抛物线交于轴于两点（点在点的左侧），且两点的横坐标分别是和2，交轴于点，且的面积为24．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，若，过点作交轴于点，点是抛物线上下方的一动点，连接，求面积的最大值以及最大值时点的坐标．
（3）如图2，将原抛物线向右平移4个单位长度，得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线的交点为．在（2）的条件下，在直线上是否存在一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．

【推荐2】如图，点是一次函数与反比例函数（）的图象的一个交点，点是一次函数与轴的交点．
（1）求反比例函数表达式；
（2）点是轴正半轴上的一个动点，设，过点作垂直于x轴的直线，分别交一次函数，反比例函数的图象于点A，B，过OP的中点Q作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点C，交一次函数的图象于点．
①当时，求ABC的面积；
②当a为何值时，ACF与EQF相似．

【推荐3】（1）如图，将直角的顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上，使角的一边交CD于点F，另一边交CB或其延长线于点G，求的值；

（2）如图，将（1）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，其他条件不变．若AB＝m，BC＝n，试求的值；

（3）如图，将直角顶点E放在矩形ABCD的对角线交点，EF、EG分别交CD与CB于点F、G，且EC平分∠FEG．若AB＝2，BC＝4，直接写出EG、EF 的长．

【推荐1】如图，经过的顶点A，C，并与边相交于点D，过点D作DF∥BC，与相交于点E，与相交于点F，连接DC，有．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求的值；
（3）连接，若，求的长．

【推荐2】在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）.特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0

(1)如图1，⊙O的半径为2，
①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）=___________，d（B，⊙O）=___________.
②已知直线L：y=与⊙O的密距d（L，⊙O)=，求b的值.
(2)如图2，C为x轴正半轴上一点，⊙C的半径为1，直线y=﹣与x轴交于点D，与y轴交于点E，直线DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）.请探求写出圆心C的横坐标m的取值范围.

【推荐3】如图，已知抛物线经过，，三点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)连接BC，点D是线段BC上方抛物线上一点，过点D作，交x轴于点E，连接AD交BC于点F，当取得最小值时，求点D的横坐标；
(3)点G为抛物线的顶点，抛物线对称轴与x轴交于点H，连接GB，点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．
①当时，求点M的坐标；
②过点M作轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，求m的值．