【推荐1】如图，中，．． 将绕点顺时针旋转60°到点，点与点关于直线对称，连接，，．
(1)依题意补全图形：
(2)判断的形状，并证明你的结论；
(3)请问在直线上是否存在点．使得恒成立若存在，请用文字描述出点的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，已知△ABC是等边三角形．
(1)如图（1），点E在线段AB上，点D在射线CB上，且ED=EC．将△BCE绕点C顺时针旋转至△ACF，连接EF．猜想线段AB，DB，AF之间的数量关系；
(2)点E在线段BA的延长线上，其它条件与（1）中一致，请在图（2）的基础上将图形补充完整，并猜想线段AB，DB，AF之间的数量关系；
(3)请选择（1）或（2）中的一个猜想进行证明．

【推荐1】如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴的负半轴上，直线经过点C，交x轴于点E．

(1)求点A、B的坐标；
(2)求点D的坐标及m的值；
(3)点是线段上的一个动点（不与点O、B重合），经过点P且平行于轴的直线交AB于点M，交CE于点N，当四边形是平行四边形时，求点P的坐标；
(4)点是y轴正半轴上的一个动点，Q是平面内任意一点，直接写出：为何值时，以点为顶点的四边形是菱形？

【推荐2】如图，是边长为3的等边三角形，点是射线上的一个动点（点不与点、重合），是以为边的等边三角形，过点作的平行线，交直线于点，连接．
   
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）当时，求四边形的周长；
（3）四边形能否是菱形？若可为菱形，请求出的长，若不可能为菱形，请说明理由．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，直线 BC：y=-x+3 交 x 轴于点 B，交 y 轴于点C，直线AD 与直线 BC 互相垂直，垂足为点 E，且 CD=1，
(1)求直线 AD 解析式．
(2)点 P 从点 B 出发沿线段 BO 方向以 1 个单位/秒的速度向终点 O 运动，设△AEP 的面积为 S，运动时间为 t，求 S 与 t 的函数关系式，并直接写出自变量 t 的取值范围．
(3)在(2)的条件下，点 P 运动的同时点 Q 从 C 点出发沿射线 CO 方向以 3 个单位/秒的速度运动， 当点 P 到达终点时，点 Q 也停止运动，过点 P 作 x 轴垂线交 BC 于点 F，连接 FQ 和 EQ，平面内是否存在一点 M，使得以点 E，Q，F，M 为顶点且以 EQ 为边的四边形是菱形?若存在，求出此时 t 值和 M 点坐标；若不存在，说明理由．
   

【推荐1】（1）问题发现
如图1，ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，若∠ADE＝60°，则AB，CE，BD，DC之间的数量关系是　 　．
（2）拓展探究
如图2，ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠B＝α，点D，E分别在边BC，AC上．若∠ADE＝α，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）解决问题
如图3，在ABC中，∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→B方向勾速运动，同时点M从点B出发，以cm/s的速度沿B→C方向匀速运动，当其中一个点运动至终点时，另一个点随之停止运动，连接PM，在PM右侧作∠PMG＝30°，该角的另一边交射线CA于点G，连接PC．设运动时间为t（s），当△APG为等腰三角形时，直接写出t的值．

【推荐3】如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．

(1)如图1，若△ABC和△ADE是等腰三角形，猜想∠ABD和∠ACE的数量关系是     ，并说明理由；
(2)如图2，若∠ADE＝∠ABC＝30°，则（1）中的结论是否仍然成立成立？请说明理由．
(3)在（1）的条件下，AB＝6，AD＝4，若把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，请直接写出PB的长度．

【推荐1】在半圆O中，AB为直径，AC、AD为两条弦，且∠CAD+∠CAB＝90°．

（1）如图1，求证：弧AC等于弧CD；
（2）如图2，点E在直径AB上，CE交AD于点F，若AF＝CF，求证：AD＝2CE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD，若AE＝4，BD＝12，求弦AC的长．

【推荐2】如图，在中，是的平分线，的平分线交于点点在上，以点为圆心，的长为半径的圆经过点交于点交于点．

（1）求证：为的切线；
（2）当时，求的半径；
（3）在的条件下，求线段的长．

【推荐3】定义：如图①，的半径为r，若点在射线上，且，则称点是点P关于的“反演点”．

（1）如图①，设射线与交于点A，若点是点P关于的“反演点”，且，求证：点为线段的一个黄金分割点；
（2）如图②，若点是点P关于的“反演点”，过点作，交于点B，连接，求证：为的切线；
（3）如图③，在中，，以为直径作，若点P为边上一动点，点是点P关于的“反演点”，则在点P运动的过程中，线段长度的取值范围是_____________．