【推荐1】已知抛物线：，且．
(1)已知抛物线始终过定点，求定点的坐标；
(2)抛物线不经过第三象限，且经过点，若一元二次方程的两根分别是、，求证：．

【推荐2】如图，已知对称轴为直线的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中．
   
(1)求抛物线的表达式和顶点坐标；
(2)当一元二次方程有两个负根时，求c的取值范围；
(3)当时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出m的取值范围：______．

【推荐3】如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点．
   
(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；
(2)点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点的坐标．

【推荐1】问题背景：如图1，在正方形中，点分别在边上，，求证：．
洋洋同学给出了部分证明过程，请你接着完成剩余的证明过程．

证明：延长到点使，连接，
正方形，，
在和中，

迁移应用：如图2，在正方形中，交于点，若，，求的长．

联系拓展：如图3，在矩形中，点分别在边上，，若，探究与的数量关系，并给出证明．

【推荐3】如图1，在正方形中，点E是边上的一点，，且交正方形外角的平分线于点P．
   
(1)求的度数；
(2)求证：；
(3)在边上是否存在点M，使得四边形是平行四边形？若存在，请画出图形并给予证明；若不存在，请说明理由；
(4)如图2，在边长为4的正方形中，将线段沿射线平移，得到线段，连接，则直接写出的最小值是        ．

【推荐1】如图，在矩形中，，，点E从点B出发，沿折线段以每秒1个单位的速度向点D（不与D点重合）运动，与此同时，以为直径且在的右侧作半圆O．设点E的运动时间为．

(1)发现：当点D开始落在半圆O上时，_________；此时半圆O的半径为________；
(2)探究：当秒时，
①连接、，判断是否垂直；
②求半圆O与矩形重叠部分的面积；
(3)拓展：若半圆O与矩形的边相切时，求点E到的距离．

【推荐2】我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”．
（1）如图①，四边形ABCD为对直角四边形，∠B=90°，若AB²-AD²=4，求CD²-BC²的值；
（2）如图②，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC，若BD平分∠ADC，求证：四边形ABCD为对直角四边形；
（3）在（2）的条件下，如图③，连结AC，若，求tan∠ACD的值．

【推荐3】在正方形ABCD中，BD是一条对角线.点P在射线CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH、PH.

（1）若点P在线CD上，如图1，
①依题意补全图1；②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；
（2）若点P在线CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路.（可以不写出计算结果）

【推荐1】如图，抛物线与x轴交于点，点，且过点，点P是抛物线上的动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线下方时，求面积的最大值；
(3)若与抛物线的对称轴相交于点E，求线段的最小值．

【推荐2】如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，），已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过三点A、B、O（O为原点）．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）

【推荐3】如图1，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为、点C的坐标为．

(1)请写出该抛物线的函数表达式和点B的坐标；
(2)如图2，有两动点D、E在的边上运动，运动速度均为每秒5个单位长度，它们分别从点C和点B同时出发，点D沿折线COB按C→O→B方向向终点B运动，点E沿线段BC按B→C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题：
①当t为何值时，的面积等于；
②在点D、E运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接AD、DF、FE、EA得到的四边形ADFE是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标．