【推荐1】[问题提出]
（1）如图①，在等腰直角中，，为等边三角形，，则线段的长为        ．
[问题解决]
（2）如图②，在等腰直角中，，，以为直径作半圆O，点D为上一动点，求点之间的最大距离；
[问题探究]
（3）一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽组制作一种特殊的部件，部件的要求如图③，部件是由直角以及弓形组成，其中，点E为的中点，，这时候小明和小丽在讨论这个部件，其中小丽说点A到的最大距离是点A、D之间的距离，小明说不对，你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点A到的最大距离．

【推荐2】如图，在 中，， ，D是上一动点，连接，以为直径的交于点E，连接并延长交于点F，交于点G，连接．

(1)如图1，当点D移动到使时，
①连接DE，求证： ．
②求的值．
(2)如图2，当点D到移动到使时，求证：．

【推荐1】如图，矩形AOCB的顶点B在反比例函数，x＞0）的图像上，且AB=3，BC=8．若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F从B开始沿BC向C以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）当t=1时，在y轴上是否存在点D，使△DEF的周长最小？若存在，请求出△DEF的周长最小值；若不存在，请说明理由．
（3）在双曲线上是否存在一点M，使以点B、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出满足条件t的值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图1，已知抛物线经过点，，三点．
   
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为，直线与轴交于点，与直线交于点．现将抛物线平移，保持顶点在直线上．若平移的抛物线与射线（含端点）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；
(3)如图，若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，判断有几个位置能使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应点的坐标．

【推荐1】如图，E，F分别是矩形ABCD的边AB，AD上的点， .
（1）求证： AF=CD．
（2）若AD=2，△EFC的面积为，求线段BE的长.

【推荐3】如图，在中，，点P从点A出发以每秒个单位长度的速度沿向终点B匀速运动，连接，作点A关于直线的对称点，连接，以为邻边作平行四边形，设点P的运动时间为t秒．
   
(1)用含t的代数式表示线段的长，________；
(2)当点落在的内部时，求t的取值范围；
(3)当平行四边形是轴对称图形时，求t的值；
(4)当所在直线与的边垂直时，直接写出t的值．

【推荐1】已知菱形的边长为，，，为对角线上的两个动点，分别从，同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为秒，．

（1）直接写出，的长；（用含的式子表示）；
（2）若，分别为，的中点，，求证：四边形始终为平行四边形；
（3）在（2）的条件下，若四边形为矩形，求的值．

【推荐2】如图，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为（6，8），直线CD交AB于点D（6，3），交x轴于点C（12，0）．
（1）求直线CD的函数表达式；
（2）动点P在x轴上从点（﹣10，0）出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t．
①点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA=∠B？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②请探索当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O，B，M，Q为顶点的四边形为菱形，并求出此时t的值．

【推荐3】（1）如图1，等边的边长为2，点D为边上一点，连接，则长的最小值是______；
（2）如图2，已知菱形的周长为16，面积为，E为中点，若P为对角线上一动点，Q为边上一动点，计算的最小值：
（3）如图3，已知在四边形中，，，，E为边上一个动点，连接，过点D作，垂足为点F，在上截取．试问在四边形内是否存在点P，使得的面积最小？若存在，请你在图中画出点P的位罝，并求出的最小面积；若不存在，请说明理由．