【推荐1】在中，，，点是斜边的中点，作，交直线于点.
   
（1）若，求线段的长；
（2）当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域；
（3）若，求的长.

【推荐3】在中，为的中点．
（1）如图，，，设，求的取值范围．
（2）若点、分别在、上，且．
①如图，若，，当时，求的长：
②如图，若，，当时，求的长．

【推荐1】如图已知是半径，弦垂直于，点是上的一点，和相交于另一点，过点的切线和的延长线交于点，
（1）求证：；
（2）当，时，求的值．

【推荐2】如图，是的直径，C，D是上两点，为的切线，且，垂足是E，连接交于点F．

   

(1)求证：平分；
(2)求证：；
(3)若，求的值．

【推荐3】在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点N是点M的等积点．已知点．

(1)在，，中，点M的等积点是           ；
(2)如果点M的等积点N在双曲线上，求点N的坐标；
(3)已知点，，的半径为1，连接，点A在线段上．如果在上存在点A的等积点，直接写出a的取值范围．

【推荐1】如图1,在中,于点的垂直平分线交于点,交于点,，．

(1)如图2,作于点,交于点,将沿方向平移,得到，连接．
①求四边形的面积；
②直线上有一动点,求周长的最小值．
(2)如图3．延长交于点．过点作,过边上的动点作,并与交于点,将沿直线翻折,使点的对应点恰好落在直线上,求线段的长．

【推荐2】如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax²+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣x﹣1交于点C．
（1）求抛物线解析式及对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

【推荐3】我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1、图2、图3中，，是的中线，，垂足为．像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，．

特例探索
（1）①如图1，当，时，______，______；
②如图2，当，时，______，______；
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；
拓展应用
（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：如图4，在边长为的菱形中，为对角线，的交点，，分别为线段，的中点，连接，并延长交于点，，分别交于点，，求的值．