【推荐1】某班为了营造书香教室，培养学生阅读的习惯，在教室一角放置了一种创意书架（如图1所示），书架由七块长度一样的长木板拼接而成，其中三块横向长木板与地面平行，另外四块拼成双“A”形状，若忽略其厚度，其基本结构可简化为图2．已知点A，C，E在地面上，．

（1）求书架的高度（即点B到地面的距离）．
（2）现有一批厚度均为，高度均为的图书，若要将此种图书按图2所示方式自然竖放在阴影部分这一格子中，已知阴影部分格子的层高为，阴影部分格子的底边长为，则阴影部分格子中最多可摆放多少本这样的图书？（参考数据：）

【推荐2】在平面直角坐标系中有，为原点，，，将此三角形绕点顺时针旋转得到，抛物线过三点．

（1）求此抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）直线与抛物线交于两点，若，求的值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点使得为直角三角形．

【推荐3】如图，在中，，点在上，，连接，点是上一点，，过点作的垂线分别交，于，．

(1)依题意补全图形；
(2)，求的大小（用含的式子表示）；
(3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

【推荐2】在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，m)，且m≠0，点B的坐标为(n，0)，将线段AB绕点B旋转90°，分别得到线段B P₁，B P₂，称点P₁，P₂为点A关于点B的“伴随点”，图1为点A关于点B的“伴随点”的示意图．

(1)已知点A(0，4)，
①当点B的坐标分别为(1，0)，(-2，0)时，点A关于点B的“伴随点”的坐标分别为     ；
②点（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，直接写出y与x之间的关系式；
(2)如图2，点C的坐标为(-3，0)，以C为圆心，为半径作圆，若在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”，直接写出点A的纵坐标m的取值范围．

【推荐1】如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，分别与交于点.
（1）过点作于点，求证：是的切线；
（2）连接，若，求的长.

【推荐2】如图，在矩形中，点是边上的一点，将沿着折叠，点刚好落在边上点处；点在上，将沿着折叠，点刚好落在上点处．

（1）求证：∽；
（2）若．
①求的长；
②直接写出的值．

【推荐1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点D是边AC上的动点，以CD为边在△ABC外作正方形CDEF，分别联结AE、BE，BE与AC交于点G

(1)当AE⊥BE时，求正方形CDEF的面积；
(2)延长ED交AB于点H，如果△BEH和△ABG相似，求sin∠ABE的值；
(3)当AG＝AE时，求CD的长．

【推荐2】【方法学习】
如图1在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，和交于点P，求的值．
思考：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现：不在直角三角形中，并且顶点不在格点处，我们可以利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得，则，连接，那么就变换到格点处，并且恰好在中，可以方便求出的值为______；
【问题解决】
（1）如图2，在边长为1的正方形网格中，与相交于点P，则的值为______；
（2）如图3，在边长为1的正方形网格中，与相交于点P，则的值为______；

【思维拓展】
（3）如图4，若干个形状、大小完全相同的菱形组成网格，网格顶点称为格点，已知菱形的较小内角为60度，点A，B，C，D都在格点处，线段与相交于点P求的值．