【推荐1】综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，连接，为抛物线部分上一动点（可与A，B两点重合），过点P作轴交直线于点M，交x轴于点N．

(1)求抛物线和直线的解析式．
(2)①求线段的最大值．
②连接，当为等腰三角形时，求m的值．

【推荐3】在等腰中，，为上一点，为上一点，连接，，．

(1)如图，若，求证：；
(2)如图，若，．
①求；
②直接写出的值．

【推荐3】在学完有关中点的复习课后，陈老师带领同学们探究这样一道几何题：正方形和正方形共顶点A，连接，取的中点M，连接．试探究的形状．
以下是智慧小组的探究过程．
【特例探究】如图1，点G在边上．

小明认为此时是等腰直角三角形，并给出了如下证明思路：
从M是的中点入手，延长交于点N，如图2．

通过证明，得到，．
由于，，故________．
所以是________．
再结合M是的中点从而可得结论．
（1）横线处应填：________，________．
【类比探究】
（2）如图3，将正方形绕点A旋转，其他条件不变，在旋转过程中，试探究的形状是否发生变化，并就图3的情形说明理由．

【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，已知，，当点A，G，M在同一条直线上时，请直接写出线段的长．

【推荐1】如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E、F分别从点D和点C出发，沿着射线DA、射线CD运动，且DE＝CF，直线AF、直线BE交于H点．

（1）当点E从点D向点A运动的过程中：
①求证：AF⊥BE；
②在图中画出点H运动路径并求出点H运动的路径长；
（2）在整个运动过程中：
①线段DH长度的最小值为______．
②线段DH长度的最大值为_________　．