【推荐1】如图，是的直径，是弦，是半圆的中点，与交于点．是延长线上的一点，且．

   

(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．

【推荐2】已知，是的直径，与相切于点，，点在上，且，两点位于异侧，，连接．

（1）如图1，求证：平分；
（2）如图2，若，，作于点，连接，求线段的长．

【推荐3】如图1，已知与轴交于、两点，与轴交于、两点，、两点的横坐标分别为和14，弦的弦心距为6．

(1)求的半径；
(2)如图2，在弦上，且，是上一动点，交直径于点，当时，
①判断线段与直径的位置关系，并说明理由；
②求的长；
(3)如图3，若点是弦上一动点，是弧上一动点，交直径于点，当与互余时，求面积的最大值．

【推荐1】在平面直角坐标系xOy中，的半径为r（），P是圆内与圆心C不重合的点，的“完美点”的定义如下：若直线CP与交于点A、B，满足，则称点P为的“完美点”，如图为及其“完美点”P的示意图.

（1）当的半径为2时，
①在点，，中，的“完美点”是________；
②若的“完美点”P在直线上，求PO的长及点P的坐标；
（2）的圆心在直线上，半径为2，若y轴上存在的“完美点”，求圆心C的纵坐标t的取值范围.

【推荐2】如图，中，是的角平分线，是上一点，以点为圆心，的长为半径作与相切于点．

（1）求证：＝
（2）若________＝，________＝，填空
①________的半径长为________；
②________＝________．

【推荐3】如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若AD是⊙O的切线，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，且OA＝1，求EF的长．

【推荐1】如图，已知抛物线与直线相交于点，B．
   
(1)求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标；
(2)当时，在直线下方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如果在抛物线上存在定点，使得，求点到直线的距离的最大值．

【推荐2】如图，抛物线与x轴分别交于点和点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上一点，对称轴与x轴交于点D．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若的面积为4，求P点坐标；
(3)x轴上方是否存在点P，满足，若存在，求PD的长，若不存在，说明理由．

【推荐3】如图1，在中，为弦，为直径，且，垂足为E，P为优弧ACB上的动点（不与端点重合），连接PD．

(1)求证：；
(2)在线段上有一点I，连接．且平分，求证：；
(3)如图2，在（2）的条件下，若，的半径为2，过点D作的切线交的延长线于点F；当时，求的长．

【推荐1】定义：若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“师梅四边形”，这条对角线称为“师梅线”．我们熟知的平行四边形就是“师梅四边形”．

(1)如图1，平分，，．四边形是被分割成的“师梅四边形”，求长；
(2)如图2，平面直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的点，且，，若点C是直线在第一象限上的一点，且是四边形的“师梅线”，求四边形的面积．
(3)如图3，圆内接四边形中，点E是的中点，连接交于点F，连接，，①求证：四边形是“师梅四边形”；②若的面积为，求线段的长．

【推荐3】如图，是的外接圆，为直径，，交的延长线于点E．
   
(1)求证：是的切线
(2)若，，求