【推荐1】如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD．
（1）求证：AF=AE；
（2）若AB＝40，AD＝30，AC＝37，求CF的长．

【推荐2】已知 是直角三角形，．
   
(1)如图1，若，取的中点，连接，则的值是         ；
(2)在（1）的条件下，在的延长线上截取，连接，将绕点顺时针旋转，设旋转角为，当点，，在同一直线上时，如图2，求的长；
(3)如图，在中，，，，将绕着点逆时针旋转至，连接．
①当时，求的长；
②当，设长的最大值为，最小值为，直接写出的值．

【推荐3】如图，长方形中，，，，动点P从点B出发，以每秒的速度沿的方向，向终点D运动；动点Q从点B出发以每秒的速度沿的方向向终点C运动．以为边向右上方作正方形，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点同时出发，运动时间为t秒．

(1)当时，＝______（用含t的代数式表示）；
(2)当点N落在边上时，求t的值；
(3)当正方形与长方形的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S（用含t的代数式表示）；
(4)请直接写出当t满足什么条件时，正方形与长方形的重叠部分为三角形．

【推荐1】在学习《圆》这章时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合问题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如：
已知：如图，是等腰直角三角形，，点是内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，并延长交直线于点．请解答下列问题：

(1)当点在如图所示的位置时，
①找出图中与全等的三角形，并说明理由；
②求的度数；
③利用题干中的结论，证明：四点共圆；
(2)连接，点在内部运动的过程中，若，直接写出线段的长．

【推荐2】如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长为．经过，，三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹）

(1)在图中，作关于点（格点）成中心对称的；
(2)在图2中，将绕点A顺时针旋转的度数，作出；
(3)在图中，点在上且不在网格线上，作弦弦．

【推荐3】如图，已知正方形ABCD的顶点D关于射线CP的对称点G落在正方形内，连接BG并延长交边AD于点E，交射线CP于点F．连接DF，AF，CG．

（1）试判断DF与BF的位置关系，并说明理由；
（2）若CF＝4，DF＝2，求AE的长；
（3）若∠ADF＝2∠FAD，求tan∠FAD的值．

【推荐1】如图，中，，以为直径的与边、分别交于点、．过作直线与垂直，垂足为，且与的延长线交于点．

(1)求证：直线是切线.
(2)若，，求半径.

【推荐2】如图，点是的边上一点，以为直径的切于点，交延长线于点，且．
   
(1)求证：是的切线；
(2)若．
①求的半径；
②连接，求的长．

【推荐3】已知：点为图形上任意一点，点为图形上任意一点，若点与点之间的距离始终满足，则称图形与图形相离．

（1）已知点、、、．
①与直线相离的点是      ；
②若直线与相离，求的取值范围；
（2）设直线、直线及直线围成的图形为，⊙的半径为，圆心的坐标为，直接写出⊙与图形相离的的取值范围．

【推荐1】如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，∠CAF＝2∠B．

（1）求证：AE＝AC；
（2）若⊙O的半径为4，E是OB的中点，求EF的长．

【推荐2】如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E两点分别在AC，BC上，且，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
(1)问题发现：当α＝0°时，的值为 　 　．
(2)拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC转到如图2的情况时，求出的值．
(3)问题解决：当△EDC旋转至A，B，E三点共线时，若设CE＝4，AC＝3，直接写出线段BE的长 　 　．

【推荐3】（1）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，若AB＝AC＝2，求DE的长；
（2）如图，在（1）的条件下，连结AG、AF分别交DE于M、N两点，求MN的长；
（3）如图，在△ABC中，AB＝AC＝BN＝2，∠BAC＝108°，若AM＝AN，请直接写出MN的长．