问题提出
（1）如图1，已知点
为线段
上一动点，分别过点
作
，
，连接
. 若
，
，
，则
的最小值为 ；
问题解决
（2）如图2，某公园规划修建一块形如四边形
的牡丹园，其中
，
，
，
，
，
的内心
处修建一个圆形喷水池，公园的入口
是
的中点，
是一条观赏小道，其余部分种植牡丹，现需要在
边上取点
，上找点
，修建道路
为了节省成本，需要使修建的道路最短，即
的值最小，是否存在这样的点
，使得的值最小？ 若存在，请求出其最小值；若不存在，请说明理由.
（1）如图1，已知点
为线段上一动点，分别过点作，，连接. 若，，，则的最小值为 ；问题解决
（2）如图2，某公园规划修建一块形如四边形
的牡丹园，其中，，，，，的内心处修建一个圆形喷水池，公园的入口是的中点，是一条观赏小道，其余部分种植牡丹，现需要在边上取点，上找点，修建道路 为了节省成本，需要使修建的道路最短，即的值最小，是否存在这样的点，使得的值最小？ 若存在，请求出其最小值；若不存在，请说明理由.
更新时间：2023-06-14 17:15:04
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【推荐1】如图，平面上有四个点A、B、C、D．
(1)作线段；
(2)作射线；
(3)作直线
；
(4)若将B、D看作河两侧的两个村庄，现要在河上修建一个抽水站M，使它到B、D两个村庄的距离的和最小，请画出点M的位置．
(1)作线段
；(2)作射线
；(3)作直线
；(4)若将B、D看作河
两侧的两个村庄，现要在河上修建一个抽水站M，使它到B、D两个村庄的距离的和最小，请画出点M的位置．
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【推荐2】如图，已知平面上四个点
，请按要求画图并回答问题．
(1)连接，延长到，使
；
(2)分别画直线、射线；
(3)在射线上找点
，使
最小．此画图的依据是_______．
，请按要求画图并回答问题．(1)连接
，延长到，使；(2)分别画直线
、射线；(3)在射线
上找点，使最小．此画图的依据是_______．
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【推荐1】如图，在
中，
，
、是内两点，平分
，
，且
．
(1)求
的度数；
(2)若
，求
的长．
中，，、是内两点，平分，，且．(1)求
的度数；(2)若
，求的长．
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【推荐2】如图所示，将矩形纸片沿
折叠，点落在点
的位置，点恰好落在边上的点
处，连接
、
．
(1)求证：四边形
为菱形；
(2)若
，
，求
的长．
沿折叠，点落在点的位置，点恰好落在边上的点处，连接、． (1)求证：四边形
为菱形；(2)若
，，求的长．
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【推荐1】某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：中，，分别是、上两点，连接
，，若
，求证：
．
(2)如图2，在矩形中，过点作
交于点，若
，求
的值．
(3)如图3，在四边形中，
，为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且
，
，
，求的长．
中，，分别是、上两点，连接，，若，求证：．(2)如图2，在矩形
中，过点作交于点，若，求的值．(3)如图3，在四边形
中，，为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且，，，求的长．
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【推荐2】如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE＝2，DE＝5，求⊙O的半径．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE＝2，DE＝5，求⊙O的半径．
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【推荐3】今年10月“愉悦创造营”的同学们积极参加劳动实践，在校园“耕读园”里播种了近百粒萝卜种子．某周日下午返校时涵涵和静静约好一起去“耕读园”看看萝卜的生长情况．如图，已知“耕读园”在点A处，涵涵家位于点A正南方一条东西走向的街道上，且在耕读园西南方向800米的C处；静静家位于点D正北方
米且位于“耕读园”南偏西
方向上的点E处，图中点A、B、C、D、E在同一平面内，
(1)求静静家离耕读园的距离是多少？（结果保留根号）
(2)涵涵周日下午
出门，先以80米/分钟的速度从C出发，往正西方向走到点D处后再向正北方向到静静家楼下两人碰面，然后两人以此速度一起前往“耕读园”，请问她们能在
前到达耕读园吗？（参考数据：
，
，结果精确到十分位）
上，且在耕读园西南方向800米的C处；静静家位于点D正北方米且位于“耕读园”南偏西方向上的点E处，图中点A、B、C、D、E在同一平面内，(1)求静静家离耕读园的距离是多少？（结果保留根号）
(2)涵涵周日下午
出门，先以80米/分钟的速度从C出发，往正西方向走到点D处后再向正北方向到静静家楼下两人碰面，然后两人以此速度一起前往“耕读园”，请问她们能在前到达耕读园吗？（参考数据：，，结果精确到十分位）
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【推荐1】如图，大渡口义渡古镇某建筑物楼顶立有广告牌，小玲准备利用所学的三角函数知识估测该建筑的高度．由于场地有限，不便测量，所以小玲从点B处沿坡度为
的斜坡步行25米到达点C处，测得广告牌底部D的仰角为
，广告牌顶部E的仰角为
（小玲的身高忽略不计），已知广告牌
米．（参考数据：
，
，
）
(1)求C处距离水平地面的高度；
(2)求建筑物的高度．
，小玲准备利用所学的三角函数知识估测该建筑的高度．由于场地有限，不便测量，所以小玲从点B处沿坡度为的斜坡步行25米到达点C处，测得广告牌底部D的仰角为，广告牌顶部E的仰角为（小玲的身高忽略不计），已知广告牌米．（参考数据：，，）(1)求C处距离水平地面的高度；
(2)求建筑物
的高度．
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【推荐2】如图，已知抛物线
与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点P抛物线上一动点（P与C不重合）．
(1)求点A、C的坐标；
(2)当
时，抛物线上是否存在点P（C点除外）使
？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)当
时，过点P作
轴于点Q，求
的长．
与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点P抛物线上一动点（P与C不重合）．(1)求点A、C的坐标；
(2)当
时，抛物线上是否存在点P（C点除外）使？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)当
时，过点P作轴于点Q，求的长．
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的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC＝
．
