某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
(1)如图
，在正方形
中，
，
分别是
，
上的两点，连接
，
，若
，则
的值为___________；
(2)如图
，在矩形中，
，
，是上的一点，连接
，
，若
，则
的值为___________；
【类比探究】
(3)如图
，在四边形中，
，为上一点，连接，过
作的垂线交
的延长线于
，交的延长线于，求证：
；
【拓展延伸】
(4)如图4，在
中，
，
，将
沿翻折，
落在处，得到
，为线段上一动点，连接，作，交于，垂足为，连接
．若
，则的最小值为___________．
【观察与猜想】
(1)如图
，在正方形中，，分别是，上的两点，连接，，若，则的值为___________；(2)如图
，在矩形中，，，是上的一点，连接，，若，则的值为___________；【类比探究】
(3)如图
，在四边形中，，为上一点，连接，过作的垂线交的延长线于，交的延长线于，求证：；【拓展延伸】
(4)如图4，在
中，，，将沿翻折，落在处，得到，为线段上一动点，连接，作，交于，垂足为，连接．若，则的最小值为___________．
更新时间：2023-07-02 14:35:52
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(0.4)
【推荐1】在▱ABCD中，点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点，AP
CQ，AD=BD．
(1)如图①，求证：BP+BQ=BC；
(2)请直接写出图②，图③中BP、BQ、BC三者之间的数量关系，不需要证明；
(3)在（1）和（2）的条件下，若DQ=1，DP=3，则BC=______．
CQ，AD=BD．(1)如图①，求证：BP+BQ=BC；
(2)请直接写出图②，图③中BP、BQ、BC三者之间的数量关系，不需要证明；
(3)在（1）和（2）的条件下，若DQ=1，DP=3，则BC=______．
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名校
【推荐2】如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．
（1）若BC＝4，求AG的长；
（2）连接BF，求证：AB＝FB．
（1）若BC＝4，求AG的长；
（2）连接BF，求证：AB＝FB．
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，动点
的速度沿
，过点
于
交
，线段
．
时，求
，设四边形
的面积为
，求
沿直线
，连接
，当
解答题-证明题
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(0.4)
【推荐1】（1）如图1，在正方形中，点是线段
延长线上的一个动点，连接
，过点作
交射线
于点．则
与之间的数量关系是 ；
（2）若将（1）中的正方形改为矩形，如图2，矩形中，
，点是线段延长线上的一个动点，连接，过点作交射线于点．试判断与之间的数量关系，写出结论并证明；（用含
的式子表示）
（3）如图2，在矩形中，若
，连接交于点，连接
，当
时，求的长．
中，点是线段延长线上的一个动点，连接，过点作交射线于点．则与之间的数量关系是 ；（2）若将（1）中的正方形改为矩形，如图2，矩形
中，，点是线段延长线上的一个动点，连接，过点作交射线于点．试判断与之间的数量关系，写出结论并证明；（用含的式子表示）（3）如图2，在矩形
中，若，连接交于点，连接，当时，求的长．
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(0.4)
【推荐2】如图，在
中，
，过点
作
，
，连接交
于点．是
的中点，连接交于．
(1)若
，求
的度数；
(2)若
，且
，求四边形
的面积．
中，，过点作，，连接交于点．是的中点，连接交于．(1)若
，求的度数；(2)若
，且，求四边形的面积．
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中，
，点D为
（点E与点C在直线
，
，
，求
，连接
，则
_______
，tan∠
，连接
，求线段
的面积．
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名校
【推荐1】如图：在
中，
，
，
，动点
从出发沿射线以
的速度运动，设运动时间为
秒．
(1)当
______时，
平分
的面积．(2)当
为等腰三角形时，求的值．(3)若点
、分别为、上的动点，请直接写出
的最小值．
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【推荐2】如图，抛物线
的图象与直线
有唯一交点
．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)若点拋物线与
轴的交点分别为点
、
，抛物线的对称轴上是否存在一点，使
的值最小？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由．
(3)直线与轴交于点，点
是轴上一动点，请你写出使
是等腰三角形的所有点的横坐标．
的图象与直线有唯一交点．(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)若点拋物线与
轴的交点分别为点、，抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由．(3)直线
与轴交于点，点是轴上一动点，请你写出使是等腰三角形的所有点的横坐标．
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分别交
上一点，过点
的长．
时，点
的对称点
恰好落在
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【推荐1】如图，抛物线
交轴于
，
两点，交
轴于点，点是抛物线上一个动点．
(2)当点的坐标为
时，求四边形
的面积；
(3)当动点在直线上方时，在平面直角坐标系内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
交轴于，两点，交轴于点，点是抛物线上一个动点．
(2)当点
的坐标为时，求四边形的面积；(3)当动点
在直线上方时，在平面直角坐标系内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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(0.4)
名校
【推荐2】如图，在中，，以为直径作
交边于点D，过点D作
交
于点E，延长交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若
，求
的长；
(3)在（2）的条件下，求
的度数．
中，，以为直径作交边于点D，过点D作交于点E，延长交的延长线于点F． (1)求证：
是的切线；(2)若
，求的长；(3)在（2）的条件下，求
的度数．
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