【推荐1】综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOC的直角边OC在y轴正半轴上，且顶点O与坐标原点重合，点A的坐标为（2，4），直线y=-x+b过点A，与x轴交于点B．
（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；
（2）动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O-C-A的路线向点A运动，同时动点M从点B出发，以相同的速度沿BO的方向向O运动，过点M作MQ⊥x轴，交线段BA或线段AO于点Q，当点P到达A点时，点P和点M都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．△APQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（3）是否存在以M、P、Q为顶点的三角形的面积与S相等？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足方程|x-15|+=0(OB＞OC)，直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于M、N两点，连接BN．将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D处，且tan∠CBD=.
⑴ 求点B的坐标．
⑵ 求直线BN的解析式．
⑶ 将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t（0＜t≤13）的函数关系式.

【推荐3】如图1，直线y＝kx+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB绕点A顺时针旋转，使AO落在AB上，得到△ACD，将△ACD沿射线BA平移，当点D到达x轴时运动停止．设平移距离为m，平移后的图形在x轴下方部分的面积为S，S关于m的函数图象如图2所示（其中0＜m≤2，2＜m≤a时，函数的解析式不同）

（1）填空：a＝　 　，k＝　 　；
（2）求S关于m的解析式，并写出m的取值范围．

【推荐2】如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，点Q为线段AP的中点，过点P作，点M在AB上方，且，以PQ，PM为边作．设点P的运动时间为．

(1)线段AC的长为________，线段AB的长为________；
(2)求的面积；（用含t的代数式表示）
(3)当线段MN与边BC有公共点时，求t的取值范围；
(4)当点M到任意两边所在直线的距离相等时，直接写出此时t的值．

【推荐3】（1）如图①，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边上一动点（与点B不重合），连接AD，△ABD绕点A逆时针旋转90°，到△ACE，那么CE，BD之间的位置关系为　 　，数量关系为　 　；
（2）如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，D，E为BC上两点，且∠DAE＝45°，求证：BD²+CE²＝DE²．
（3）如图③，△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝AC，∠DAE＝60°，BC＝，若以BD，DE，EC为边的三角形是以BD为斜边的直角三角形时，求BE的长．

【推荐1】已知：直线与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上.将沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．
（1）求出OC的长？
（2）点E、F是直线BC上的两点，若是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；
（3）取AB的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
      

【推荐2】【基础探究】如图1，四边形中，，为对角线，．

(1)求证：平分
(2)若，，则______．
(3)【应用拓展】如图2．四边形中，，为对角线，，E为的中点，连接、，与交于点F．若，，请直接写出的值．

【推荐3】如图所示，等腰直角中，．

(1)如图1所示，若D是内一点，将线段绕点C顺时针旋转得到，连结，，则线段、的关系为______；
(2)如图2所示，若D是外一点，将线段绕点顺时针旋转得到，且，求证：；
(3)如图3所示，若是斜边的中线，为下方一点，且，，，求出的长．

【推荐1】如图，在长方形中，，含角的直角三角板放置在长方形内，，顶点分别在上．
   
(1)求证：；
(2)若是斜边的中点．
①如图2，连接，请写出线段与之间的数量关系，并说明理由；
②如图，连接，若，则的长等于

【推荐2】已知，以为边在外作等腰，其中.
（1）如图①，若，，求的度数.
（2）如图②，，，，.
①若，，的长为______.
②若改变的大小，但，的面积是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化的规律.