【推荐1】综合与实践：在综合实践课上，同学们以“正方形的旋转”为主题开展学习数学活动．

(1)操作一：将正方形与正方形的顶点A重合，点在正方形的边上，如图1，连接，取的中点O，连接，．操作发现，与的位置关系是______；与的数量关系是______；
(2)操作二：将正方形绕顶点A顺时针旋转，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
(3)若，，当时，请直接写出的长．

【推荐2】如图，已知为等腰直角三角形，，．

(1)如图1，点M是的中点，点D在边上，连接，过点M作交于点E，连接，求证：；
(2)如图2，在（1）的条件下，过点A作交于点F，点G在边上，连接交于点N，交于点H，若，求证：；
(3)如图3，已知点E在上，点D在延长线上且，连接并以为边向左侧作等腰直角，且，，点M为上一点且，当取最小值时请直接写出的值．

【推荐3】如图1，在正方形中，E是上一点，作，垂足为点P，交于点F．
   
(1)求证：；
(2)如图2，延长交的延长线于点G；
①如果E是AD的中点，求的值；
②如果，求的长度．

【推荐1】如图1，在△ABC中，BO⊥AC于点O，AO＝BO＝3，OC＝1，过点A作AH⊥BC于点H，交BO于点P．
（1）求线段OP的长度；
（2）连接OH，求证：∠OHP＝45°；
（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交线段OA延长线于N点，则S_△BDM－S_△ADN的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．

【推荐2】如图(1)所示，在中，的平分线交于点，过点作交AB于．
       
(1)观察猜想
图(1)中，线段与的数量关系是         ；线段与的数量关系是         ．
(2)探究证明
如图(2)所示，将绕点逆时针旋转角得到连接，，求证： ；
(3)拓展延伸
在图(2)的旋转过程中是否存在？若存在，请直接写出相应旋转角的度数：若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其他顶点均不重合，连接BE、DG．

(1)当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：．
(2)如图3，如果，，，求点G到BE的距离．

【推荐2】如图，在中，，点在上，，点在上，连接，，作，垂足为．

（1）如图a，当时，连接，过点作交的延长线于点，求证：；
（2）如图b，若时，求证：．

【推荐3】如图1，在四边形ABCD中，AB＝AC，∠BAC＝60°，∠B+∠C+∠ADB＝4∠BAC，

(1)求∠ADC的度数；
(2)如图2，若AD＝BD+CD，求证：AD平分∠BDC；
(3)如图3，在（2）的条件下，E、F分别在AC、AB上，交于点P，使得∠BPC＝∠BDC，若BD=EF=7，AD＝15，求△EFP的⾯积．

【推荐1】如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，点C在y轴正半轴，点D在x轴正半轴，且，．
   
(1)求出直线的解析式；
(2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标；
(3)如图2，点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点，若以O，M，N，P为顶点且为边的四边形为矩形，请求出点N的坐标．

【推荐2】问题提出：（1）同学们在探索求代数式的最小值的过程时，老师进行了如下的引导，如图，为线段上的一个动点，分别过点，作，，连接，已知，，，设．
①则的长为______．（用含的代数式表示）
②如图，过作交的延长线于，构造长方形，连接，此时、、三点共线，的值最小，求最小值．
问题解决：（2）请用上述的构图法求出代数式的最小值．