在学习了“中心对称图形…平行四边形”这一章后，同学小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”.请你根据以上定义，回答下列问题：
(1)下列关于“双直四边形”的说法，正确的有_________（把所有正确的序号都填上）；
①“双直四边形”的对角线不可能相等；②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半；③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形．
(2)如图①，正方形
中，点E、F分别在边
、
上，连接
，
，
，
，若
，证明：四边形
为“双直四边形”；
(3)如图②，在平面直角坐标系中，已知点
，
，
，是否存在点D在第一象限，使得四边形为“双直四边形”，若存在；求出所有点D的坐标，若不存在，请说明理由．
(1)下列关于“双直四边形”的说法，正确的有_________（把所有正确的序号都填上）；
①“双直四边形”的对角线不可能相等；②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半；③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形．
(2)如图①，正方形
中，点E、F分别在边、上，连接，，，，若，证明：四边形为“双直四边形”；(3)如图②，在平面直角坐标系中，已知点
，，，是否存在点D在第一象限，使得四边形为“双直四边形”，若存在；求出所有点D的坐标，若不存在，请说明理由．
更新时间：2023-08-22 13:35:02
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【推荐1】定义：若函数
的图象上至少存在一个点，该点关于x轴的对称点落在函数
的图象上，则称函数，为关联函数，这两个点称为函数，的一对关联点．例如，函数
与函数
为关联函数，点
和点
是这两个函数的一对关联点．
(1)判断函数
与函数
是否为关联函数？若是，请直接写出一对关联点；若不是，请简要说明理由；
(2)若对于任意实数
，函数
与
始终为关联函数，求
的值；
(3)若函数
与函数
(
，
为常数)为关联函数，且只存在一对关联点，求
的取值范围．
的图象上至少存在一个点，该点关于x轴的对称点落在函数的图象上，则称函数，为关联函数，这两个点称为函数，的一对关联点．例如，函数与函数为关联函数，点和点是这两个函数的一对关联点．(1)判断函数
与函数是否为关联函数？若是，请直接写出一对关联点；若不是，请简要说明理由；(2)若对于任意实数
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【推荐2】如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中给出的数据信息，解答问题：
(2)写出整齐叠放在桌面上碗的高度y（cm）与碗的数量x（个）之间的关系式________；当碗的数量为10个时，碗的高度是________cm；
(3)若这摞碗的高度为20.8cm，求这摞碗的数量．
| 碗的数量x（个） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| 高度y（cm） | 4 | 5.2 | 7.6 | … |
(3)若这摞碗的高度为20.8cm，求这摞碗的数量．
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【推荐3】为增强公民的节约意识，合理利用天然气费源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调能后的收费价格如表所示：
(1)若某户3月份用气量为60 m3，则应交费多少元？
(2)调价后每月支付燃气费用y(元)与每月用气量x(m3)的函数关系如图所示，求a的值及线段AB对应的一次函数的表达式；
(3)求射线BC对应的一次函数的表达式.
每月用气量 | 单价(元/m3) |
不超出75m3的部分 | 2 |
超出75 m3不超过125 m3的部分 | a |
超出125 m2的部分 | a＋0.5 |
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解题方法
【推荐1】如图1，在等腰三角形
中，
，
，点
分别在边
上，
，连接
，点
分别为
的中点．
图
中，线段
与
的数量关系是_______，
的大小是_______；
(2)探究证明：
把
绕点
顺时针方向旋转到图
的位置，连接
，判断
的形状，试说明理由；
(3)拓展延伸：
把绕点在平面内自由旋转，若
，
，请直接写出面积的最大值．
中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．
图
中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______；(2)探究证明：
把
绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由；(3)拓展延伸：
把
绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
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【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在坐标轴上，
．
(1)点A坐标为（______，_______）．
(2)过点C作x轴的垂线l，动点Р从点C出发，沿着直线∠向上运动，若点Р的速度是1个单位/秒，时间是t，连接
，请用含t的式子表示
．
(3)在（2）的条件下，连接
，以为斜边，在下方作等腰直角
，连接
并延长至点Q，连接
，当点D为
中点时，请判断
的形状，并说明理由．
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，连接
，将线段
得到线段
，连接
，
．
______，
______．
为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出
的值．
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得到线段PE，连接AE，BP，CE.
（1）求证：
；
（2）当线段BP与CE相交时，设交点为M，求
的值以及
的度数；
（3）若正方形ABCD的边长为3，
，当点P，C，E在同一直线上时，求线段BP的长.
得到线段PE，连接AE，BP，CE.（1）求证：
；（2）当线段BP与CE相交时，设交点为M，求
的值以及的度数；（3）若正方形ABCD的边长为3，
，当点P，C，E在同一直线上时，求线段BP的长.
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【推荐2】某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（AB＜BO）的对角线的交点O旋转（图①⇒图②），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．
（1）如图①，当三角板一直角边与OD重合时，该学习小组成员意外的发现：BN2＝CD2+CN2，请你说明理由；
（2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由；
（3）如图③，若AD＝8，AB＝6，E为矩形外的一点，且AE⊥CE，F为AE的中点，O为AC的中点，取AO的中点G，连接BG，当F在线段BG上时，则BF的值为 ．
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（2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由；
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，正方形
、
分别为
、
，探究
之间的数量关系．小明是这么思考的：延长
，截取
连接
，易证
，从而得到
，再由
证明
，从而得出结论： ________________________；
，四边形
，
与
互补，
，探究
，四边形
，
，
，直接写出四边形
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【推荐1】物体受重力作用的作用点叫做这个物体的重心．例如一根均匀的棒，重心是棒的中点，一块均匀的三角形木板，重心就是这个三角形三条中线的交点，等等．
（1）你认为平行四边形的重心位置在哪里？请说明理由；
（2）现有如图的一块均匀模板，请只用直尺和铅笔，画出它的重心（直尺上没有刻度，而且不允许用铅笔在直尺上做记号）．
（1）你认为平行四边形的重心位置在哪里？请说明理由；
（2）现有如图的一块均匀模板，请只用直尺和铅笔，画出它的重心（直尺上没有刻度，而且不允许用铅笔在直尺上做记号）．
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【推荐2】定义：如果函数的图象上至少存在不重合的两点
，
，那么我们称函数为“
函数”，这对点叫做“函数”的点．
(1)在下列关于
的函数中，是“函数”的，请在后面的括号中打“√”，不是“函数”的打“×”
①
（_____）；
②
（_____）；
③
（_____）．
(2)若关于的函数
是“函数”，求该函数上的点；
(3)若，
记作“函数”
的一组点，以为边作等边
，若点
在反比例函数
上运动，“函数”
一个点是
，当
时，“函数”的最大值为
，最小值为
；是否存在实数
，使得
，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
，，那么我们称函数为“函数”，这对点叫做“函数”的点．(1)在下列关于
的函数中，是“函数”的，请在后面的括号中打“√”，不是“函数”的打“×”①
（_____）；②
（_____）；③
（_____）．(2)若关于
的函数是“函数”，求该函数上的点；(3)若
，记作“函数”的一组点，以为边作等边，若点在反比例函数上运动，“函数”一个点是，当时，“函数”的最大值为，最小值为；是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
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