【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且与x轴交于点和点B，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为直线上方抛物线上的一个动点，过点P作于点E，作轴交于点F，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线上的一点，在平面内确定一点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形为菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．

【推荐3】如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D，直线交y轴于点E．

(1)求抛物线的解析式．
(2)设点P为线段上一点（点P不与B，D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，连接，，求面积的最大值．
(3)连接，在线段上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，过点A作于点E，若，求点D的横坐标；
(3)若点P是抛物线对称轴上一动点且在x轴的上方，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，如果以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点Q的坐标．

【推荐2】若关于x的二次函数y=a+bx+c（a>0，c>0，a、b、c是常数）与x轴交于两个不同的点A（，0），B（，0）（0<<），与y轴交于点P，其图像顶点为点M，点O为坐标原点．

(1)当=c=2，a=时，求与b的值；
(2)当=2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；
(3)当=mc（m>0）时，记△MAB，△PAB的面积分别为S₁，S₂，若△BPO∽△PAO，且S₁=S₂，求m的值．

【推荐3】二次函数的图象过，两点，与y轴相交于点C．

(1)求二次函数的解析式；
(2)若点P是第四象限内抛物线上的一动点，当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标．
(3)当二次函数的自变量x满足时，函数的最大值为p，最小值为q，，求m的值．

【推荐1】已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC边中点．点M为线段BC上的一个动点（不与点C，点D重合），连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，连接EC．
      
（1）如图1，若点M在线段BD上．
① 依据题意补全图1；
② 求∠MCE的度数．
（2）如图2，若点M在线段CD上，请你补全图形后，直接用等式表示线段AC、CE、CM之间的数量关系                              ．

【推荐2】【探索发现】如图1，在等腰直角三角形中，，若点在直线上，且，，则．我们称这种全等模型为“型全等”．
【迁移应用】设直线与轴，轴分别交于，两点．

(1)若，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，点在第一象限，如图2．
①直接填写：______，______；
②求点的坐标．
(2)如图3，若，过点在轴左侧作，且，连结．当变化时，的面积是否为定值？请说明理由．
(3)【拓展应用】如图4，当时，直线：与轴交于点，点、分别是直线和直线上的动点，点在轴上的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求点的坐标．（直接写出答案）提示：直线：，就是过点且平行于轴的直线．

【推荐3】如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．

(1)出发2秒后，求的周长．
(2)问为何值时，为等腰三角形？
(3)另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？

【推荐1】如图，抛物线y=ax²+(4a﹣1)x﹣4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC=2OB，点D为线段OB上一动点(不与点B重合)，过点D作矩形DEFH，点H、F在抛物线上，点E在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当矩形DEFH的周长最大时，求矩形DEFH的面积；
（3）在（2）的条件下，矩形DEFH不动，将抛物线沿着x轴向左平移m个单位，抛物线与矩形DEFH的边交于点M、N，连接M、N．若MN恰好平分矩形DEFH的面积，求m的值．

【推荐2】如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，．
   
（1）求此抛物线和直线的解析式；
（2）点在轴上，直线将三角形面积分成两部分，求点的坐标．

【推荐3】如图，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线与抛物线交于两点，其中点的横坐标为2．
（1）求A，B两点的坐标及直线AC的表达式；
（2）P是线段AC上一动点（P与A，C不重合），过点P作轴的平行线交抛物线于点E，求面积的最大值；
（3）点H是抛物线上一动点，在轴上是否存在点F，使得四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在请直接写出所有满足条件的点F坐标；如果不存在，请说明理由．