【推荐1】如图1，在四边形中，，对角线、交于点，已知，且．

(1)求的度数；
(2)如图2，若点为的中点，连接．
①证明：；
②若，，求的值．

【推荐3】【模型建立】如图，等腰直角三角形中，过点A作于点D，过点B作于点E，我们将这个模型称为“K形图”．

【模型应用】

(1)如图1，当点在坐标轴上时，以为直角边，点B为直角顶点作等腰直角三角形，则点C的坐标为          ；
(2)应用：如图2，在四边形中，， ．求线段的长；
(3)如图3，已知直线与坐标交于A、B两点，点D的坐标为，点M是直线上一点，使，求线段的长度．

【推荐1】如图1，在平面直角坐标系中，已知，，．其中、、满足关系式，．

(1)_______；_______；______．
(2)如果在第四象限内有一点，使得的面积是面积的一半，求点的坐标．
(3)如图2，过点作，交延长线于点，且，点在直线上，点是轴上异于点的一个动点，是否存在为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标．

【推荐1】【阅读理解】
在平面直角坐标系中，把点P沿纵轴或横轴方向到达点Q的最短路径长记为．
例如：如图1，点，点，则．

   

                  图1
(1)①已知点和点，则______．
②点E是平面直角坐标系中的一点，且，则所有满足条件的点E组成的图形是（       ）
A．一条线段                           B．一个等边三角形                    C．一个正方形                       D．一个圆
【新知运用】
(2)已知点，点Q在线段上；
①如图2，已知点和点，则的最大值是；

   

            图2
②如图3，已知点和点，求的最小值．

   

          图3
(3)如图4，已知点，点，以点G为圆心，5为半径作，点Q在上，则的取值范围是．

   

                            图4
【尺规作图】
(4)如图5，请用无刻度直尺和圆规在直线l上找一点K，使得．

   

            图5

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，点B在x轴负半轴上，，．
       
(1)求B点坐标；
(2)如图1，动点C从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿x轴正方向运动，运动时间为t秒，的面积为S，请用用含有t的式子表示S；（不要求写出t的取值范围）
(3)如图2，在（2）的条件下，当时，点C停止运动此时的角平分线交于点D，交y轴于点E、在x轴上有一点P，平面内有一点，连接．若，求的面积．

【推荐1】（1）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第117页的部分内容：
如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、．求证：四边形是菱形．

分析：要证四边形是菱形，由已知条件可知，所以只需证明四边形是平行四边形，又知垂直平分，所以只需证明．

请结合图1，补全证明过程．
（2）【应用】如图2，将矩形沿直线翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，直线分别交矩形的边、于点、，若，，则折痕的长为______．
（3）【拓展】如图3，将沿直线翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，直线分别交的边、于点、，若，，，则四边形的面积是______．