【推荐2】综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．

【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然．
(1)请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．
(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______．
(3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值．

【推荐3】
是菱形边上一点，是等腰三角形，，（），，交边于点，，连接．
   
(1)如图，当时，
①求的度数；
②若，，请直接写出的长；
(2)如图，当时，若，，求的面积．

【推荐1】如图，是的直径，是的切线，以，为邻边作平行四边形，边交于点，连接．

   

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长度；
(3)在（2）的条件下，求的值．

【推荐2】如图，半圆O的直径，在中，，，，半圆O以的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上，设运动时间为，当时，半圆O在的左侧，．
如图1当时，圆心O到AB所在直线的距离是______cm．
当t为何值时，的边AB所在的直线与半圆O所在圆相切？求时间t．
如图2，线段AB的中点为F，求圆心O与B、F两点构成以BF为腰的等腰三角形时运动的时间t．
在图2的基础上，建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ACBG是矩形，如图3，半圆O向右运动的同时矩形也向右运动，速度为，问经过多长时间O、F、G在同一条直线上，求时间并求出此时DG的直线解析式．

【推荐3】如图，已知是的边上一点，，点是射线上一点，连接经过点且与相切于点，与边相交于另一点．

(1)的最小值是 ，当圆心在射线上时，的半径为        
(2)分别求出与时，圆心到直线的距离；
(3)直接写出当与线段只有一个公共点时，的取值范围．

【推荐2】三角形中，顶角等于的等腰三角形称为黄金三角形，如图，在中，已知：，且．
在图中，用尺规作的垂直平分线交于，并连接（保留作图痕迹，不写作法）；
是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
设，试求的值；
如图，在中，已知，，且，请直接写出的值．

【推荐1】如图，OA是⊙O的半径，点E为圆内一点，且OA⊥OE，AB是⊙O的切线，EB交⊙O于点F，BQ⊥AF于点Q．
(1)如图1，求证：OE∥AB；
(2)如图2，若AB＝AO，求的值；
(3)如图3，连接OF，∠EOF的平分线交射线AF于点P，若OA＝2，cos∠PAB＝，求OP的长．

【推荐2】如图，四边形是矩形，，，连接．点G从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边向终点C匀速运动，线段绕点D逆时针方向旋转得到线段，以线段为边作菱形．设菱形与重叠部分图形的面积为y（），点G运动的时间为x秒．

(1)______．
(2)当点F落在上时，______秒．
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

【推荐3】抛物线的顶点坐标为，与x轴交于，B两点，与y轴交于点C．
   
(1)求这条抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点M是直线上的一个动点，连接，求的最小值，并求出此时M点的坐标；
(3)如图2，点P在第四象限的抛物线上，连接与相交于点Q，与x轴交于点G，是否存在点P，使．若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．