【推荐1】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C 在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
（2）四边形ABCA′的面积为                    ；
   
（3）在直线l上找一点P，使PA+PB的长最短，则这个最短长度的平方为       ．

【推荐2】如图，△ABC与⊙O交于D，E两点，AB是直径且长为12，OD∥BC．
（1）若∠B=40°，求∠A的度数；
（2）证明：CD=DE；
（3）若AD=4，求CE的长度．

【推荐3】如图，在中，A、B，C三点在上，点O在边上，点E在外，，垂足为F．
   
(1)若，求证：是的切线；
(2)若，求的长．

【推荐1】如图，的对角线相交于点O，点E，F分别是线段的中点，若，的周长是，求线段EF的长度．

【推荐2】如图，的对角线相交于点O，且E、F、G、H分别是的中点．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的周长．

【推荐3】（1）探究：如图（1），点P在线段AB上，在AB的同侧作△APC和△BPD，满足PC=PA，PD=PB，∠APC＝∠BPD，连接CD，点E、F、G分别是AC、BD、CD边中点，连接EF、FG、EG．求证：∠EFG＝∠GEF．
（2）应用：如图（2），点P在线段AB上方，∠APC＝∠BPD＝90°，图（1）题中的其他条件不变，若EF＝2，则四边形ABDC的面积为        ．

【推荐2】已知线段AB=3cm，用图形表示到点A的距离小于2cm，且到点B的距离大于2cm的所有点的集合．

【推荐3】下面是“已知斜边作一个直角三角形”的尺规作图过程．

已知：线段．

求作：一个直角三角形，使线段为斜边．

作法：如图，①过A任意作一条射线l；

②在射线l上任取两点D，E；

③分别以点D，E为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点P；

④作射线交射线l于点C．

所以就是所求作的直角三角形．理由________________．

思考 ：

（1）按上述方法，以线段为斜边还可以作_____________个直角三角形；

（2）这些直角三角形的直角顶点C所形成的的图形是____________．

【推荐1】点为平面直角坐标系中一点，点为图形上一点，我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点视角下图形的“包容度”．如图，半径为2，与轴，轴分别交于点，，点．

(1)在点视角下，的“包容度”为_________，线段的“包容度”为_________；
(2)点为轴上一点，若在点视角下，线段的“包容度”为2，写出的取值范围；

【推荐2】定义：在平面直角坐标系中，点为图形上一点，点为图形上一点．若存在，则称图形与图形关于原点“平衡”．
（1）如图，已知⊙是以为圆心，为半径的圆，点，，．
①在点，，中，与⊙关于原点“平衡”的点是__________；
②点为直线上一点，若点与⊙关于原点“平衡”，求点的横坐标的取值范围；

（2）如图，已知图形是以原点为中心，边长为的正方形．⊙的圆心在轴上，半径为．若⊙与图形关于原点“平衡”，请直接写出圆心的横坐标的取值范围．

【推荐3】如图，在菱形中，，M为边的中点，点N在边上，连结，作点A关于直线的对称点，连结、．

(1)求菱形的高．
(2)设点到直线的距离为d，则d的最小值为______．
(3)当落在菱形的边上时，求的长．
(4)当直线与菱形的一边垂直时，直接写出的长．