【推荐1】已知：如图所示，AC⊥CD，BD⊥CD．线段AB的垂直平分线EF交AB于点E，交CD于点F，且AC=FD=3，CF=1，求线段AB的长度．

【推荐2】如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，连接DB．

(1)证明：△ECA≌△DCB
(2)若，，求AC的长．

【推荐3】如图，是的直径，是上两点，且，连接并延长与过点的的切线相交于点，连接．

(1)证明：平分；
(2)若，求的长．

【推荐1】【探索发现】如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，且∠MAN=45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如，小明将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，如图②．从而证明出了DM+BN=MN．

(1)请你按照小明的方法证明：DM+BN=MN；

【类比延伸】
(2)如图③，点N、M分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，∠MAN=45°，连接数MN，请根据小明的发现给你的启示写出MN、DM、BN之间的数量关系，并证明．

【推荐2】如图，已知正方形ABCD，对角线AC、BD交于点O，点E在对角线BD上，连接AE．点G是AD延长线上一点，DF平分∠GDC，且DF=BE，连接FB、FC，FB与AC交于点M．
（1）若点E是BD的三等分点（DE＜BE），BF=，求△ABE的面积；
（2）求证：DE=2CM．

【推荐3】如图，在正方形中，点，分别在，边上，，连接，交于点，求证：．
   

【推荐1】如图1，长方形纸片ABCD的两条边AB、BC的长度分别为、，小明它沿对角线AC剪开，得到两张三角形纸片（如图2），再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，点A、B、D、E在同一条直线上，且点B与点D重合，点B、F、C也在同一条直线上．
   
（1）将图3中的△ABC沿射线AE方向平移，使点B与点E重合，点A、C分别对应点M、N，按要求画出图形，并直接写出平移的距离；（用含或的代数式表示）
（2）将图3中的△DEF绕点B逆时针方向旋转60°，点E、F分别对应点P、Q，按要求画出图形，并直接写出∠ABQ的度数；
（3）将图3中的△ABC沿BC所在直线翻折，点A落在点G处，按要求画出图形，并直接写出GE的长度．（用含、的代数式表示）

【推荐2】如图，平行四边形纸片中，折叠纸片使点落在上的点处，得折痕，再折叠纸片使点落在上的点，得折痕．

   

(1)请说明：；
(2)请说明：．

【推荐3】如图，对折正方形纸片，使与重合，折痕为．将纸片展平，再进行折叠，使点C落在上的点E处，折痕交于点F．

(1)求证：；
(2)若正方形纸片的边长为3，求折痕的长．

【推荐1】如图，在直角三角形中，，作的内接矩形．设，求x取何值时矩形的面积最大？

【推荐2】如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．
（1）AB=        ；
（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数．
（3）若△ACD与△BCO相似，求AC的长．

【推荐3】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC、BC，E是BC的中点，延长OE交⊙O于点F，交切线CD于点D．

(1)已知AB＝10，AC＝6，求CD的长；
(2)①当_______时，四边形AOFC是菱形；
②当_______时，四边形OBDC是正方形．