根据背景素材，探索解决问题
| 探究草坪喷灌系统的节水优化方案 | ||
| 项目 背景 | 小明和他的同学在操场上散步时，一不小心被草坪的喷灌系统的水喷到了，他们想，这个水是不是可以开小点？不仅不会喷到人，也节约水资源．但是，水开的小就不能保证整个草坪都喷到水……为了解决这个问题，他们展开了项目研究，查阅了大量文献资料，以及实地观察了学校的草坪喷灌系统的运作． |  |
| 问题 解决 | 小明认为可以把此问题抽象为一个数学问题： 在边长为20米的正方形草坪上，如何设计喷头布局方案，使得节水效果最好？ | |
| 任务一 | （1）同学甲和乙马上设计了两种方案，如图1所示，你认为哪位同学设计的方案更节水？（为了方便研究同时结合文献资料，同学们将喷头的喷水面抽象为圆或者扇形，统一了节水评价标准为：阴影部分面积越小，越节水．）（ ） A．甲更节水 B．乙更节水 C．一样节水 D．无法比较 |  |
| 任务二 | （2）小明认为他们的方案可以进一步优化，他设计了如图2所示的喷灌方案（以点D为圆心， 长为半径作扇形，与正方形交于E，F两点，再以点B为圆心， 长为半径作扇形，与边 ， 的延长线交于点G，H），并认为此方案更节水．你认为呢？不妨令 ，当x取何值时，阴影部分面积最小？请说明理由，并求出该最小值． |  |
| 任务三 | （3）在小明设计的方案基础上，丙同学又进行了优化，他的方案如图3所示，先以点B为圆心，AB长为半径作扇形，交BD于点E，再以点D为圆心，DE长为半径作扇形，此时正方形草坪还有两处未被喷水面覆盖，于是再分别以点A，C为圆心，AE长为半径作扇形，得到如图3的方案图，则 ______；此时阴影部分面积为______． |  |
更新时间：2023-10-18 14:45:46
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(0.4)
【推荐1】已知：如图，抛物线y=
的图象与x轴分别交于A 、B两点，与y轴交于C点，⊙M经过原点O及点A、C ，点D是劣弧OA上一动点（D点与A、O不重合）．
（1）求抛物线的顶点E的坐标；
（2）求⊙M的面积；
（3）连CD交OA于点F，延长CD至G，使FG=2，当∠OAC=30º时，试探究当点D运动到何处时，直线GA⊥AC，并请说明理由．
的图象与x轴分别交于A 、B两点，与y轴交于C点，⊙M经过原点O及点A、C ，点D是劣弧OA上一动点（D点与A、O不重合）． （1）求抛物线的顶点E的坐标；
（2）求⊙M的面积；
（3）连CD交OA于点F，延长CD至G，使FG=2，当∠OAC=30º时，试探究当点D运动到何处时，直线GA⊥AC，并请说明理由．
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(0.4)
【推荐2】如图，抛物线
与x轴交于点
，
，与y轴交于点C．
(2)点M是直线下方的抛物线上一点，过点M作
于点N，若
，求点M的坐标；
(3)点P是y轴正半轴上一点，以
为边向下作正方形
，当点C落在正方形的边上时，求点P的坐标．
与x轴交于点，，与y轴交于点C．
(2)点M是直线
下方的抛物线上一点，过点M作于点N，若，求点M的坐标；(3)点P是y轴正半轴上一点，以
为边向下作正方形，当点C落在正方形的边上时，求点P的坐标．
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(0.4)
真题
【推荐3】如图，在矩形ABCO中，AO=3，tan∠ACB=
，以O为坐标原点，OC为
轴，OA为
轴建立平面直角坐标系．设D，E分别是线段AC，OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动，设运动时间为
秒．
（1）求直线AC的解析式；
（2）用含的代数式表示点D的坐标；
（3）当为何值时，△ODE为直角三角形？
（4）在什么条件下，以Rt△ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于轴的抛物线？并请选择一种情况，求出所确定抛物线的解析式.
，以O为坐标原点，OC为轴，OA为轴建立平面直角坐标系．设D，E分别是线段AC，OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动，设运动时间为秒．（1）求直线AC的解析式；
（2）用含
的代数式表示点D的坐标；（3）当
为何值时，△ODE为直角三角形？（4）在什么条件下，以Rt△ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于
轴的抛物线？并请选择一种情况，求出所确定抛物线的解析式.
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较难
(0.4)
【推荐1】如图1，
的半径为
，平行四边形
的顶点A，B，C在上，
．
(1)求证：
是的切线；
(2)若
也与相切，求证：四边形是菱形；
(3)如图2，与相交于点E，连接于
，当
时，求平行四边形的对角线
的长及阴影部分图形的面积．
的半径为，平行四边形的顶点A，B，C在上，．(1)求证：
是的切线；(2)若
也与相切，求证：四边形是菱形；(3)如图2，
与相交于点E，连接于，当时，求平行四边形的对角线的长及阴影部分图形的面积．
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名校
【推荐2】如图，
中，
，
，
，延长
到点D，使
．点P是边上一点，点Q在射线
上，
，以点P为圆心、PD长为半径作
，交A
于点E，设
．
(1)
______，当点Q在上时，
______；
(2)x为何值时，与
相切？
(3)当
时，求阴影部分的面积；
(4)若与的三边有两个公共点，直接写出x的取值范围．
中，，，，延长到点D，使．点P是边上一点，点Q在射线上，，以点P为圆心、PD长为半径作，交A于点E，设． (1)
______，当点Q在上时，______；(2)x为何值时，
与相切？(3)当
时，求阴影部分的面积；(4)若
与的三边有两个公共点，直接写出x的取值范围．
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ABC中，∠ABC＝60°，⊙O是
，求DE的长；
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【推荐1】如图，在平面直角坐标系
中，一次函数
的图像与轴交于点
，与反比例函数
交于点
．和点的坐标；
(2)点是轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点
，连接，若
，求
的面积；
(3)在（2）的条件下，将线段
绕点顺时针旋转
得到线段，连接
．点
是反比例函数的图象上一点，连接
，若
，求点的坐标．
中，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数交于点．
和点的坐标；(2)点
是轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点，连接，若，求的面积；(3)在（2）的条件下，将线段
绕点顺时针旋转得到线段，连接．点是反比例函数的图象上一点，连接，若，求点的坐标．
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(0.4)
【推荐2】问题提出
（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B与∠D互补，BC=2CD=20，点A到BC的距离为17，求四边形ABCD的面积；
问题解决
（2）如图②，某公园计划在一块空地上修建两大主题活动区域，其中△ABE为健身活动区域，△CDE为文艺活动区域，已知AB=BC=60m，∠B=60°，AB∥CD．按照设计要求，现要在BC上找一点E，使得AE=ED，∠AED=60°，请问是否存在满足设计要求的点E，使得文艺活动区域的面积尽可能大？若存在，求出文艺活动区域的面积及此时点B，E之间的距离；若不存在，请说明理由．
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问题解决
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．点
，
上，且
．连接
，
．
，求证：
是等边三角形；
平分
交
．
，点
是
时，求
的长．
是
是线段
，
将
分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1∶3．若存在，请直接写出
的值；若不存在，请说明理由．
