（1）问题提出：如图①，在矩形
中，
，
，
是
上一动点，则
的最小值为_________
（2）问题探究：如图②，在正方形中，
，点
是平面上一点，且
，连接
，在上方作正方形
，求
的最大值．
（3）问题解决：为迎接2021年9月在西安举办的第14届全运会，打造体育历史文化名城，某小区对一正方形区域进行设计改造，方使大家锻炼运动．如图③，在正方形内设计等腰直角
为健身运动区域，直角顶点E设计在草坪区域扇形
的弧
上．设计铺设
和
这两条不同造价鹅卵石路，已知
米，
米，
，
，若铺设路段造价为每米200元，铺设路段的造价为每米100元，请求出铺设和两条路段的总费用的最小值．
中，，，是上一动点，则的最小值为_________（2）问题探究：如图②，在正方形
中，，点是平面上一点，且，连接，在上方作正方形，求的最大值．（3）问题解决：为迎接2021年9月在西安举办的第14届全运会，打造体育历史文化名城，某小区对一正方形区域
进行设计改造，方使大家锻炼运动．如图③，在正方形内设计等腰直角为健身运动区域，直角顶点E设计在草坪区域扇形的弧上．设计铺设和这两条不同造价鹅卵石路，已知米，米，，，若铺设路段造价为每米200元，铺设路段的造价为每米100元，请求出铺设和两条路段的总费用的最小值．
更新时间：2023-10-18 23:15:15
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解题方法
【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，菱形
的边长为10，对角线
，点
是
的中点，点、
是
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，求四边形
周长的最小值．
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【推荐2】已知一次函数
．
(2)如图1，当
时，一次函数
的图象交x轴，y轴于A、B两点，点Q是直线
：
上一点，若
，求Q点的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，直线：交AB于点P，C点在x轴负半轴上，且
，动点M的坐标为
，求
的最小值．
．
(2)如图1，当
时，一次函数的图象交x轴，y轴于A、B两点，点Q是直线：上一点，若，求Q点的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，直线
：交AB于点P，C点在x轴负半轴上，且，动点M的坐标为，求的最小值．
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为常数，且
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，
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(1)证明：△AFC∽△AGD；
(2)若
＝
，请求出
的值．
(1)证明：△AFC∽△AGD；
(2)若
＝，请求出的值．
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，
绕点A顺时旋转，它的两边分别交
（或它们的延长线）于点M，N．
(1)如图1，当绕点A旋转到
时，求证：
．
(2)当绕点A旋转到
（如图2所示）时，线段
和之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．
(3)当绕点A旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
中，，绕点A顺时旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点M，N．(1)如图1，当
绕点A旋转到时，求证：．(2)当
绕点A旋转到（如图2所示）时，线段和之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．(3)当
绕点A旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
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上的一个动点，过点C作
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交直线
；
之间满足的数量关系，并说明理由．
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【推荐1】如图，
为
的直径，点
在上，连接
，满足
，将位于上方的部分沿着线段翻折，翻折后的图形交于点，连接
并延长交于点，连接，交翻折后的圆弧于点
．
(1)①求证：
；
②求证：
；
(2)过点
作
于点，交翻折后的圆弧于点
．求证：
；
(3)若
，试求出
的最大值．
为的直径，点在上，连接，满足，将位于上方的部分沿着线段翻折，翻折后的图形交于点，连接并延长交于点，连接，交翻折后的圆弧于点． (1)①求证：
；②求证：
；(2)过点
作于点，交翻折后的圆弧于点．求证：；(3)若
，试求出的最大值．
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【推荐2】如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E四点，B为OD中点．
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(2)如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MN•MB时，求M点的坐标；
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，
交
交
；②
；③
是等边三角形；④
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与
交于点E，若
，
，
，则的长度＝______cm．
【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李想到可以利用八年级的所学三角形全等．如图2，在中，已知是弦，
是半径，求作：的内接垂等四边形．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹）
【问题解决】（3）如图3，已知A是上一定点，B为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形（A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线与交于点E，的半径为
，当点E到的距离为
时，求弦的长度．
（1）如图1，已知在垂等四边形
中，对角线与交于点E，若，，，则的长度＝______cm．【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李想到可以利用八年级的所学三角形全等．如图2，在
中，已知是弦，是半径，求作：的内接垂等四边形．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹）【问题解决】（3）如图3，已知A是
上一定点，B为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形（A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线与交于点E，的半径为，当点E到的距离为时，求弦的长度．
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【推荐2】在菱形中，
，点E，F分别在边
上，且
平分
．的中点，求
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(2)如图2，若
，求
的值；
(3)如图3，若去掉条件“平分”，增加条件“，
”，求的值．
中，，点E，F分别在边上，且平分．
的中点，求的值；(2)如图2，若
，求的值；(3)如图3，若去掉条件“
平分”，增加条件“，”，求的值．
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，
，求
绕点C顺时针旋转
到
，延长
，连接
交
于点N，求证
；
，点H是
，连接
，点K是
，连接
，
，将
沿
，连接
，当
的周长最小时，直接写出
的面积．
