探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．等边
的
边延长线上有一动点
，连接
，以为边作等边
，连接
．
【初步感知】
（1）如图1，当点不与
点重合时，兴趣小组探究得出结论：
①
；②
的度数是定值，请你写出他们的证明过程；
【深入探究】
（2）如图2，点
是线段的中点，连接
，猜想和
的数量关系．
小明猜想：假设点刚好和点重合时，猜想出结论是：
；
小红也提出了自己的想法：因为题设中提到了中点，所以想到添加中点构造辅助线进行转化．如图
，是小红添加的辅助线，点
，点
，点
分别是线段
，
，
的中点，请你帮她继续完成证明过程．
【拓展运用】
（3）在（2）的条件下，若等边的边长是，则点从点向右运动过程中，的最小值是．（直接写出答案，无需证明）
的边延长线上有一动点，连接，以为边作等边，连接．【初步感知】
（1）如图1，当
点不与点重合时，兴趣小组探究得出结论：①
；②的度数是定值，请你写出他们的证明过程；【深入探究】
（2）如图2，点
是线段的中点，连接，猜想和的数量关系．小明猜想：假设
点刚好和点重合时，猜想出结论是：；小红也提出了自己的想法：因为题设中提到了中点，所以想到添加中点构造辅助线进行转化．如图
，是小红添加的辅助线，点，点，点分别是线段，，的中点，请你帮她继续完成证明过程．【拓展运用】
（3）在（2）的条件下，若等边
的边长是，则点从点向右运动过程中，的最小值是．（直接写出答案，无需证明）
更新时间：2023-10-26 09:53:42
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较难
(0.4)
【推荐1】如图1，已知点
，
，且a、b满足
，平行四边形
的边
与y轴交于点E，且E为的中点，双曲线
上经过C、D两点.
(1)求k的值；
(2)点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；
(3)以线段
为对角线作正方形
（如图3），点T是边
上一动点，M是
的中点，
，交于N，当T在上运动时，
的值是否发生变化，若改变，请求出其变化范围；若不改变，请求出其值.
，，且a、b满足，平行四边形的边与y轴交于点E，且E为的中点，双曲线上经过C、D两点.(1)求k的值；
(2)点P在双曲线
上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；(3)以线段
为对角线作正方形（如图3），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的值是否发生变化，若改变，请求出其变化范围；若不改变，请求出其值.
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【推荐2】把正方形
纸板按如图①方式放置在正方形纸板上，顶点G在对角线
，并把正方形绕顶点A沿逆时针方向旋转，旋转角为a．
(1)如图②，当
时，请直接写出线段
与
的数量关系和位置关系；
(2)如图③，当
时，（1）中的结论是否发生改变？若不变，请给出证明；若发生改变，请举例说明；
(3)如图④，将图①、图③中的两个正方形都改为相似矩形，其他条件不变，设
，当时，（1）中的结论是否发生改变？若不变，请给出证明；若发生改变，请写出改变后的新结论，并给出证明．
纸板按如图①方式放置在正方形纸板上，顶点G在对角线，并把正方形绕顶点A沿逆时针方向旋转，旋转角为a．(1)如图②，当
时，请直接写出线段与的数量关系和位置关系；(2)如图③，当
时，（1）中的结论是否发生改变？若不变，请给出证明；若发生改变，请举例说明；(3)如图④，将图①、图③中的两个正方形都改为相似矩形，其他条件不变，设
，当时，（1）中的结论是否发生改变？若不变，请给出证明；若发生改变，请写出改变后的新结论，并给出证明．
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是等腰直角三角形．
分别在边
上，线段
逆时针旋转
（
）时，试判断（
时，延长
，
，求线段
的长．
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【推荐1】如图，在等边中，
，
，如果点M以6cm/s的速度运动．
(1)如果点M在线段
上由点C向点B运动，点N在线段
上由B点向A点运动．它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等．经过2s后，
和
是否个等？请说明理由；
(2)在（1）的条件下，当两点的运动时间为多少时，是一个直角三角形？
(3)若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿三边运动，经过25s点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是多少cm/s．
中，，，如果点M以6cm/s的速度运动． (1)如果点M在线段
上由点C向点B运动，点N在线段上由B点向A点运动．它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等．经过2s后，和是否个等？请说明理由；(2)在（1）的条件下，当两点的运动时间为多少时，
是一个直角三角形？(3)若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿
三边运动，经过25s点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是多少cm/s．
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【推荐2】问题背景
定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是
，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形中，
是一条对角线，
，且
，则与
是关于的互补三角形．中，
，D、E为外两点，
，为等边三角形．则关于的互补三角形是______，并说明理由．
(2)实践应用：如图3，在长方形中，
．点E在边上，点F在边上，若
与
是关于互补三角形，试求
的长．
(3)思维探究：如图4，在长方形中，．点E是线段上的动点，点P是平面内一点，
与
是关于
的互补三角形，直线
与直线交于点F．在点E运动过程中，线段
与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由．
定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是
，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形中，是一条对角线，，且，则与是关于的互补三角形．
中，，D、E为外两点，，为等边三角形．则关于的互补三角形是______，并说明理由．(2)实践应用：如图3，在长方形
中，．点E在边上，点F在边上，若与是关于互补三角形，试求的长．(3)思维探究：如图4，在长方形
中，．点E是线段上的动点，点P是平面内一点，与是关于的互补三角形，直线与直线交于点F．在点E运动过程中，线段与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由．
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沿直线
，连接
，
的度数；
的值；
为边长为3的等边三角形时，求
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名校
解题方法
【推荐1】在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变换的同时，始终存在一对全等三角形，通过资料查询，他们知道这种模型称为手拉手模型.如图1，两个等腰直角三角形
和
，
，这个就是手拉手模型，在这个模型中易得到
．
学习小组继续探究：
（1）如图2，已知，以、为边分别向外作等边
和等边
，并连接、
，求证：；
（2）小刚同学发现，不等腰的三角形也可得到手拉手模型，例如：在中
，
，将三角形
旋转一定的角度（如图3），连接
和
，求证：
；
（3）如图4，四边形中，
，
，
，
，
，请在图中构造小刚发现的手拉手模型求的长．
和，，这个就是手拉手模型，在这个模型中易得到．学习小组继续探究：
（1）如图2，已知
，以、为边分别向外作等边和等边，并连接、，求证：；（2）小刚同学发现，不等腰的三角形也可得到手拉手模型，例如：在
中，，将三角形旋转一定的角度（如图3），连接和，求证：；（3）如图4，四边形
中，，，，，，请在图中构造小刚发现的手拉手模型求的长．
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【推荐2】如图，正方形的边长为
，
为对角线上一动点，以为直角顶点作
交直线于点
，交直线于点
，
(1)如图
，若点与对角线交点
重合时，求证：
．
(2)如图，若点为线段
中点时，
①求证：
；
②如图，当点在线段延长线上，且点使得
，
分别交，于
，，则线段
的长为______
直接写出答案
．
的边长为，为对角线上一动点，以为直角顶点作交直线于点，交直线于点， (1)如图
，若点与对角线交点重合时，求证：．(2)如图
，若点为线段中点时，①求证：
；②如图
，当点在线段延长线上，且点使得，分别交，于，，则线段的长为______直接写出答案．
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，直线
．直线
轴交于点
上，点
轴，
，求点D的坐标．
的面积等于
的面积的三分之一时，求
的度数．
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【推荐1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P为线段AB上不与A，B重合的一个动点，过点P作PQ⊥BC于点Q，将△BPQ绕点B逆时针旋转，连接CP，点D为CP中点，连接AD，AQ，DQ，已知AC＝3，AB＝6．
(1)当旋转角为0°时，如图1，线段AD与线段QD的数量关系为________；
(2)如图2，当点P，Q，C第一次旋转到一条直线上时，试找出线段CQ、PQ，AD的数量关系并说明理由；
(3)旋转过程中，当点P为边AB的三等分点时，直接写出线段AD的最大值．
(1)当旋转角为0°时，如图1，线段AD与线段QD的数量关系为________；
(2)如图2，当点P，Q，C第一次旋转到一条直线上时，试找出线段CQ、PQ，AD的数量关系并说明理由；
(3)旋转过程中，当点P为边AB的三等分点时，直接写出线段AD的最大值．
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(0.4)
解题方法
【推荐2】如图1，，
是两个等腰直角三角形，其中
，
，
，连接，取中点F，连接
．与
的数量关系与位置关系；
(2)如图2，将绕点C逆时针旋转，取与
的中点G，H，当点G，H，F三点不共线时，连接
，求证：
；
(3)在（2）的条件下，连接，在绕点C旋转的过程中，求
面积的最小值，并说明理由．
，是两个等腰直角三角形，其中，，，连接，取中点F，连接．
与的数量关系与位置关系；(2)如图2，将
绕点C逆时针旋转，取与的中点G，H，当点G，H，F三点不共线时，连接，求证：；(3)在（2）的条件下，连接
，在绕点C旋转的过程中，求面积的最小值，并说明理由．
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网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
，得到线段
交
绕点C顺时针旋转
得到线段
；
