【推荐1】在四边形中，，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随着点的位置变化而变化．

（1）如图1，当点在四边形内部或边上时，连接，与的数量关系是________，与的位置关系是_______；
（2）如图2，当点在四边形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；
（3）如图3，当点在线段的延长线上时，连接，若，，则线段______，________．

【推荐2】如图，在平而直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点，顶点为．连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点分别在线段上，连接与交于点．

(1)求点，的坐标；
(2)随着点在线段上运动．
①的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

【推荐1】已知：是的内接三角形，点为的中点，弦分别交，于点，，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点作，交的延长线于点，与的另一个交点为点，连接交于点，若，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长．

【推荐2】问题发现：

（1）如图①，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD相交于点O，E是AB上点（点E不与A、B重合），将射线OE绕点O逆时针旋转90°，所得射线与BC交于点F，则四边形OEBF的面积为　 　．
问题探究：
（2）如图②，线段BQ＝10，C为BQ上点，在BQ上方作四边形ABCD，使∠ABC＝∠ADC＝90°，且AD＝CD，连接DQ，求DQ的最小值；
问题解决：
（3）“绿水青山就是金山银山”，某市在生态治理活动中新建了一处南山植物园，图③为南山植物园花卉展示区的部分平面示意图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，AC＝600米．其中AB、BD、BC为观赏小路，设计人员考虑到为分散人流和便观赏，提出三条小路的长度和要取得最大，试求AB+BD+BC的最大值．

【推荐3】如图，已知锐角三角形内接于，于点D，连接．

（1）若，求证：．
（2）过点C作的切线交的延长线于点E，若，，，求的长．

【推荐1】如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．
（1）求证：AC＝CD；
（2）如果OD＝1，tan∠OCA＝，求AC的长．

【推荐2】已知内接于，，的平分线与交于点，与交于点，连接并延长与过点的切线交于点，记．
（1）如图1，若，
①直接写出的值为______；
②当的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为______；
（2）如图2，若，且，，求的长．

【推荐3】如图，已知中，，平分，交于点，以上某一点为圆心作使经过点和点，交于点，连接并延长交的延长线于点．

（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影区域的面积．

【推荐1】如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取一点O,以点O为圆心，OF为半径作⊙O与AD相切于点P.AB=6，BC=

（1）求证：F是DC的中点.
（2）求证：AE=4CE.
（3）求图中阴影部分的面积.

【推荐2】如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为，直线与的延长线交于点，弦平分，交于点，连接，．

(1)求证：平分；
(2)求的半径；
(3)若是的中点，求阴影部分的面积．

【推荐3】如图，在中，，，，点在上，连接，过点作的垂线交于点，连接，的外接圆交直线于点圆心为．

(1)若平分；
①判断与的位置关系，并说明理由；
②求出此时图中阴影部分的面积；
(2)若，求的直径．