八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
【阅读理解】如图1，在
中，若
，
．求
边上的中线
的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至
，使
，连接
．利用
与
全等将边
转化到，在
中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证与全等的判定方法是：__________；中线的取值范围是__________．
【阅读感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【理解与应用】如图2，在中，
，点
是的中点，点
在边上，点
在
边上，若
．证明：
．
【问题解决】如图3，在中，点是的中点，
，
，其中
，连接
，探索与的关系，并说明理由．
【阅读理解】如图1，在
中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用与全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证与全等的判定方法是：__________；中线的取值范围是__________．【阅读感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【理解与应用】如图2，在
中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．证明：．【问题解决】如图3，在
中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的关系，并说明理由．
更新时间：2023-11-04 01:27:34
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名校
【推荐1】新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
初步尝试
（1）如图1，在中，
为上一点，当
的长为 时，
与
为偏等积三角形．
理解运用
（2）如图2，与
为偏等积三角形，
且线段
的长度为正整数，过点
作平行，交的延长线于点，求
的长．
综合应用
（3）如图3，已知四边形
是等腰直角三角形，
，则与是偏等积三角形吗？请说明理由．
初步尝试
（1）如图1，在
中，为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形．理解运用
（2）如图2，
与为偏等积三角形，且线段的长度为正整数，过点作平行，交的延长线于点，求的长．综合应用
（3）如图3，已知四边形
是等腰直角三角形，，则与是偏等积三角形吗？请说明理由．
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【推荐2】问题提出
（1）在平面内，已知线段
，
，则线段的最小值为______．
问题探究
（2）如图1，在平行四边形
中，
，
，
，P是边的中点，Q是边
上一动点，将三角形
沿
所在直线翻折，得到三角形
，连接
，求的最小值．
问题解决
（3）如图2，平行四边形为某公园平面示意图，扇形
为该公园的人口广场，已知
，
，
，
．为了提升游客体验感，工作人员准备在弧上找一点P，沿，
修两条绿色通道，并在上方和右方区域种植花卉供游客观赏，其余地方修建其他设施，求其他设施区域
面积的最小值．
（1）在平面内，已知线段
，，则线段的最小值为______．问题探究
（2）如图1，在平行四边形
中，，，，P是边的中点，Q是边上一动点，将三角形沿所在直线翻折，得到三角形，连接，求的最小值．问题解决
（3）如图2，平行四边形
为某公园平面示意图，扇形为该公园的人口广场，已知，，，．为了提升游客体验感，工作人员准备在弧上找一点P，沿，修两条绿色通道，并在上方和右方区域种植花卉供游客观赏，其余地方修建其他设施，求其他设施区域面积的最小值．
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【推荐3】【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：
如图
，点
为坐标原点，
的半径为
，点
．动点
在上，连接，作等边（
，，为顺时针顺序），求
的最大值；
【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图中，连接
，以为边在的左侧作等边
，连接．
（）请你找出图中与相等的线段，并说明理由；
（
）线段的最大值为 ．
【灵活运用】
（
）如图
，在平面直角坐标系中，点的坐标为
，点的坐标为
，点
为线段外一动点，且
，
，
，求线段
长的最大值及此时点的坐标．
【迁移拓展】
（
）如图③，
，点是以为直径的半圆上不同于
的一个动点，以为边作等边，请直接写出的最值．
如图
，点为坐标原点，的半径为，点．动点在上，连接，作等边（，，为顺时针顺序），求的最大值；【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图
中，连接，以为边在的左侧作等边，连接．（
）请你找出图中与相等的线段，并说明理由；（
）线段的最大值为 ．【灵活运用】
（
）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点，且，，，求线段长的最大值及此时点的坐标．【迁移拓展】
（
）如图③，，点是以为直径的半圆上不同于的一个动点，以为边作等边，请直接写出的最值．
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【推荐1】如图1，
中，
，点
分别在边
上，
，将
绕点A逆时针旋转
，直线
相交于点P．
(1)若
，将绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段
与的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)若
，将绕点A逆时针旋转．
①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图3所示的情况加以证明；否则，请写出正确结论，并说明理由．
②若
，E是
的中点，当以
为顶点的四边形是矩形时，请直接写出的长．
中，，点分别在边上，，将绕点A逆时针旋转，直线相交于点P．(1)若
，将绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；(2)若
，将绕点A逆时针旋转．①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图3所示的情况加以证明；否则，请写出正确结论，并说明理由．
②若
，E是的中点，当以为顶点的四边形是矩形时，请直接写出的长．
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【推荐2】在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下操作：
均为等边三角形，点D在边上，且不与点B、C重合，连接，易证
，进而判断出与的位置关系是___________
(2)类比探究：如图②，已知
均为等边三角形，连接
，若
，试说明点B，D，E在同一直线上；
(3)解决问题：如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接
．若
，请求出的长．
均为等边三角形，点D在边上，且不与点B、C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是___________(2)类比探究：如图②，已知
均为等边三角形，连接，若，试说明点B，D，E在同一直线上；(3)解决问题：如图③，已知点E在等边
的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，请求出的长．
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，N为边B一点，且
，连接
交于点P，试猜想
的度数，并证明你的猜想．
解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若
， 
，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使
，连接．请根据小明的方法思考：
，依据是___________．
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
（2）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________．
解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【初步运用】
（3）如图2，是的中线，交于E，交于F，且
．若
，
，求线段
的长．
【灵活运用】
（4）如图3，在中，
，D为中点，
，
交于点E，
交于点F，连接
，试猜想线段，
，三者之间的等量关系，并证明你的结论．
中，若， ，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长
到E，使，连接．请根据小明的方法思考：
，依据是___________．A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
（2）由“三角形的三边关系”可求得
的取值范围是___________．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【初步运用】
（3）如图2，
是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长．【灵活运用】
（4）如图3，在
中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接，试猜想线段，，三者之间的等量关系，并证明你的结论．
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解答题-证明题
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(0.4)
【推荐2】（1）如图1，在中，
，
，点、、
分别为、、的中点，求证：
；
（2）如图2，在中，，，点为的中点，
，那么
是否成立？证明你的猜想；
（3）如图3，边长为4的等边外有一点，
，
，、分别是边、的点，满足
，求
的周长．
中，，，点、、分别为、、的中点，求证：；（2）如图2，在
中，，，点为的中点，，那么是否成立？证明你的猜想；（3）如图3，边长为4的等边
外有一点，，，、分别是边、的点，满足，求的周长．
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(0.4)
名校
【推荐1】如图，在中，∠A=90°，是的中点，过点的直线、交直线、于点、，且，连接．
（1）如图1，求证：
；
（2）如图2，若
，
，
，请直接写出线段的长度．（不必写过程）
中，∠A=90°，是的中点，过点的直线、交直线、于点、，且，连接．（1）如图1，求证：
；（2）如图2，若
，，，请直接写出线段的长度．（不必写过程）
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】已知，矩形中，
，的垂直平分线分别交
于点
，垂足为．
（1）如图1，连接
，求证：四边形
为菱形；
（2）如图2，动点
分别从
两点同时出发，沿
和
各边匀速运动一周，即点自
停止，点自
停止．在运动过程中，
①已知点的速度为每秒
，点
的速度为每秒
，运动时间为
秒，当
四点为顶点的四边形是平行四边形时，则
____________．
②若点的运动路程分别为
（单位:
），已知四点为顶点的四边形是平行四边形，则
与
满足的数量关系式为____________．
中，，的垂直平分线分别交于点，垂足为．（1）如图1，连接
，求证：四边形为菱形；（2）如图2，动点
分别从两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点自停止，点自停止．在运动过程中，①已知点
的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当四点为顶点的四边形是平行四边形时，则____________．②若点
的运动路程分别为 （单位:），已知四点为顶点的四边形是平行四边形，则与满足的数量关系式为____________．
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，如图
的长为半径作弧，两弧相交于
的长为半径作圆，交
，
．直线
，如图3，连接
，
_______时，四边形
是正方形；
，求阴影部分的面积．
