【推荐1】如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图，（保留必要的画图痕迹）
   
(1)直接写出边的长度______．
(2)图1中，作边上的高；
(3)图2中，在图中找一点O，使得；

【推荐2】如图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个动点（点、始终在的外面），连接、、、．

(1)若，，
①求证：四边形为平行四边形；
②若平分，，求的长．
(2)若，，四边形还是平行四边形吗？请写出结论并说明理由．
(3)若，，四边形还是平行四边形吗？请写出结论并证明．

【推荐3】如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为，．

(1)求的长度；
(2)以为一边作等边，作的垂直平分线交的垂线于点D．求证：；

(3)在（2）的条件下，连接交于F．求证：F为的中点．

【推荐1】如图，在中，，，D为的中点，连接．

(1)请用尺规作图法，作的垂直平分线交于点P；（不要求写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接、，求证：为等边三角形．

【推荐2】已知：如图，在中，°，°

（1）作的平分线，交于点；作的中点
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）连接，则      °．

【推荐3】如图，平面直角坐标系中，已知点B在第一象限．
      
(1)请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使，与的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）
(2)问：（1）中这样的直线是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在备用图中画出所有这样的直线．

【推荐1】如图，在中，．

（1）作边的垂直平分线，与，分别相交于点，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数．

【推荐2】如图，是的直径，为上一点，为上一点，且，延长交于，连．

(1)求证：；
(2)若，求的长．

【推荐3】定义：如图①，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM，MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．

（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM＝2，MN＝3，求BN的长；
（2）如图2，在Rt△ABC中，AC＝BC，点M，N在斜边AB上，∠MCN＝45°，求证：点M，N是线段AB的勾股分割点（提示：把△ACM绕点C逆时针旋转90°）
（3）在（2）的前提下，若∠BCN＝15°，BN＝1．求AN的长．

【推荐1】综合与实践
在数学教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动——折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．
实践发现：
对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，把纸片展平：再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，折痕为BM，把纸片展平，连接AN，如图①；


(1)折痕BM所在直线是否是线段AN的垂直平分线？请判断图中是什么特殊三角形？请写出解答过程．
(2)继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，求∠GBN的度数．
(3)拓展延伸：
如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接交ST于点O，连接AT；求证：四边形是菱形．

【推荐3】综合与实践
综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动

(1)【操作发现】对折，使点C落在边上的点处，得到折痕，把纸片展平，如图1．小明根据以上操作发现：四边形满足，．查阅相关资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．请写出图1中筝形的一条性质______．
(2)【探究证明】已知：如图2，在筝形中，，，对角线、交于点O．求证：
(3)【迁移应用】如图3，在中，，，点D、E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，的度数为多少？