【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力.如图1是著名的赵爽弦图,由四个全等的直角三角形拼成,用它可以证明勾股定理,思路是大正方形的面积有两种求法,一种是等于另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和,即从而得到等式化简使得结论这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法,我们称之为“双求法”.
【方法运用】千百年来,人们对勾股定理的证明趋之若鹜,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者.向常春在2010年构造发现了一个新的证法:把两个全等的和如图2放置,其三边长分别为a,b,c,,显然.
(1)请用a,b,c分别表示出四边形,梯形,的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,证明勾股定理;
【方法迁移】
(2)如图3,在中,是边上的高,,设,求x的值.
【方法运用】千百年来,人们对勾股定理的证明趋之若鹜,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者.向常春在2010年构造发现了一个新的证法:把两个全等的和如图2放置,其三边长分别为a,b,c,,显然.
(1)请用a,b,c分别表示出四边形,梯形,的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,证明勾股定理;
【方法迁移】
(2)如图3,在中,是边上的高,,设,求x的值.
更新时间:2023-12-09 20:43:58
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【推荐1】如图,有一四边形纸片,,测得,,,,求这张纸片的面积.
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【推荐2】如图,在等腰三角形中,底边,腰长为,以所在直线为x轴,以边上的高所在的直线为y轴建立平面直角坐标系.
(1)直接写出点A、B、C的坐标.
(2)一动点P以的速度沿底边从点B向点C运动(P点不运动到C点),设点P运动的时间为t(单位:s)
①当t为何值时,是等腰三角形?并求出此时点P的坐标.
②当t为何值时,与一腰垂直?
(1)直接写出点A、B、C的坐标.
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【推荐1】如图,是4个完全相同的直角三角形适当拼接后形成的图形,这些直角三角形的两直角边分别为a、b,斜边为c.请利用这个图形验证勾股定理.
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【推荐2】勾股定理现约有500种证明方法,是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一.中国古代最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽,赵爽创制了如图1所示的“勾股圆方图”,在该图中,以弦为边长所得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成的,其中,.
(1)请利用面积相等证明勾股定理;
(2)在图1中,若大正方形的面积是13,,求小正方形的面积;
(3)图2是由“勾股圆方图”变化得到的,正方形由八个全等的直角三角形和正方形拼接而成,记图中正方形,正方形,正方形的面积分别为,,.若,求边的长度.
(1)请利用面积相等证明勾股定理;
(2)在图1中,若大正方形的面积是13,,求小正方形的面积;
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【推荐3】勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载,我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”(如图1),后人称之为“赵爽弦图”,流传至今.
(1)勾股定理的证明,人们已经找到了400多种方法,请你从图1,图2,图3中任选一个图形来证明该定理;
(2)①如图4,图5,图6,以直角三角形的三边为边或直径,分别向外部作正方形、半圆、等边三角形,这三个图形中面积关系满足的有 个;
②如图7所示,分别以直角三角形三边为直径作半圆,设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为,直角三角形面积为,请判断的关系并证明.
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(2)①如图4,图5,图6,以直角三角形的三边为边或直径,分别向外部作正方形、半圆、等边三角形,这三个图形中面积关系满足的有 个;
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