【推荐1】如图，在中，连接对角线分别是的中点，连接并延长，交射线于点，已知．
   
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长度．

【推荐2】在中，，点是直线上的一动点（不与点重合），连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接．

【问题发现】（1）如图（1），当点是的中点时，线段与的数量关系是_________，位置关系是__________．
【猜想证明】（2）如图（2），当点在边上且不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】（3）若，其他条件不变，连接，．当是等边三角形时，直接写出的面积．

【推荐3】如图，都为等腰直角三角形，，点D在上，M、N为的中点．

(1)求证：；
(2)如图，将绕A点逆时针旋转一个锐角，（1）中的结论是否仍然成立，请证明．
(3)求证：．

【推荐1】如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），作点B关于直线AP的对称点E，连接AE，再连接DE并延长交射线AP于点F，连接BF和CF．

(1)若∠BAP＝，则∠AED＝         （用含的式子直接填空）；
(2)求证：点F在正方形ABCD的外接圆上；
(3)求证：AF﹣CF＝BF．

【推荐3】如图，为等边三角形，以为斜边向下作等腰直角三角形，连接交于点．为线段上一动点（不与，重合），连接．

(1)如图1，若的边长为4，，求的长；
(2)如图2，若，延长至，使，连接，为线段上一动点，满足，求证：；
(3)如图3，若的边长为2，在取得最小值的条件下，以为斜边向上作等腰直角三角形，连接，为直线上的动点，将沿所在直线翻折到所在平面得到，连接，点为的中点，当最大时，直接写出的值．

【推荐1】如图1，直线与抛物线交于，两点，抛物线与轴的另一个交点为B，顶点为D．

(1)求抛物线的解析式．
(2)点M是第二象限内抛物线上的一个动点，过点M作于N，作于F，交于点E，当时，求点M的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线方向以每秒个单位的速度平移，平移后抛物线的顶点为，设平移时间为t秒，当为等腰三角形时，求t的值．

【推荐3】如图1，已知点，、分别交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，且，连接．
（1）若，则_______，此时________．
（2）求的面积．
（3）在线段上取一点使，在上是否存在一点，使得四边形是平行四边形，如果存在，请直接写出点的横坐标，如果不存在，请说明理由．

【推荐1】【问题探究】
（1）如图1，锐角中，分别以为边向外作等腰直角和等腰直角，使，连接，试猜想与的大小关系，不需要证明．
【深入探究】
（2）如图2，锐角中分别以为边向外作等腰和等腰，使，连接，试猜想与的大小关系，并说明理由．

【拓展应用】
（3）如图3，在中，，以为直角边，为直角顶点向外作等腰直角，连接，若，则长为________．
（4）如图4，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，，过点作直线轴，点是直线上的一个动点，线段绕点按逆时针方向旋转30°得到线段．则的最小值为_______．

【推荐2】已知，和都是等腰直角三角形，，，，分别过点作，，两平行线交于点，连接．

   

(1)如图，若点在上，，，求的长．
(2)如图，将绕点逆时针旋转，使点落在上，若，交于点，交于点，求的值．

【推荐3】如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，交y轴于点A，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，连接BD分别交y轴和AC于E、F两点，连接AB．

（1）求证：AB＝AD；
（2）若BF＝4，DF＝6，求线段CD的长；
（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．