【推荐1】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．

(1)发现：如图1，连接CE，则△BCE的形状是_______________，∠CDB=____________°；
(2)探索：如图2，点P为线段AC上一个动点，当点P在CD之间运动时，连接BP，作∠BPQ=60°，PQ交射线DE于Q，连接BQ，即△BPQ是等边三角形；
思路：在线段BD上截取点H，使DH=DP，得等边△DPH，由∠DPQ=∠HPB，PD=PH，∠QDP=∠BHP，易证△PDQ≌△PHB（ASA），得PQ=PB，即△BPQ是等边三角形．
试判断线段DQ、DP、AD之间的关系，并说明理由；
(3)类比：如图3，当点P在AD之间运动时连接BP，作∠BPQ=60°，PQ交射线DE于Q，连接BQ．
①试判断△BPQ的形状，并说明理由；
②若AD=2，设AP=x，DQ=y，请直接写出y与x之间的函数关系式．

【推荐3】在中，，，过点B作直线l，点M在直线l上，连接，且，过C点作交于点N．

(1)如图1，请问和有怎样的数量关系，并证明；
(2)如图2，直线交直线l于点H，求证：；
(3)已知，在直线l绕点B旋转的过程中，当时，请直接写出的长度．

【推荐2】在直角坐标系中，四边形是矩形，点在轴上，点在轴的正半轴上，点，分别在第一，二象限，且，．
（1）如图1，延长交轴负半轴于点，若．

①求证：四边形为平行四边形
②求点的坐标．
（2）如图2，为上一点，为的中点，若点恰好落在轴上，且平分，求的长．

（3）如图3，轴负半轴上的点与点关于直线对称，且，若的面积为矩形面积的，则的长可为______（写出所有可能的答案）．

【推荐1】已知点，过点作轴于点，伷于点，以为圆心，长为半径作圆交于点，连接并延长交于点．
   
(1)当点、、在同一条直线上时．
①如图1，点是否为线段的中点？若是，请证明：若不是，请说明理由．
②如图2，连接、，两线交于点，当，时，求的长；
(2)如图3，点为线段上一动点，过点作轴的平行线，分别交、于点、．若（为定值），试探究在点运动的过程中，的值是否为定值？如果是，请求出这个定值（用含的代数式表示）；如果不是，请说明理由．

【推荐1】综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形中边上的点，将正方形沿折叠，点C落在点F处，连接并延长，交于点M．

猜想证明：
(1)猜想线段与的数量关系，并说明理由；
深入探究：
(2)如图②，在图①的基础上将延方向向左平移得到，使点F的对应点N落在边上，若点D的对应点H恰为中点，求证：；
问题解决：
(3)开拓小组受到前面问题的启发，提出了如下问题：若正方形的边长为4，则图②中线段的长为______．（直接写出结果）

【推荐3】如图1，正方形的边长为4，点是对角线上两动点，且，将点沿的方向平移2个单位得到点，连接、．

(1)①四边形的形状为_____________；
②连接、，当点，，共线时，的值为_____________．
(2)自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、．