问题情境：“综合与实践”课上，杨老师提出如下问题：将图1中的正方形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的等腰直角三角形纸片，表示为
和
，其中
，将和按图2所示方式摆放（点C，B，E三点共线），其中点B与点D重合（标记为点B）．连接
，取的中点M，过点F作
交
的延长线于点N．
的形状，直接写出答案．
(2)深入探究：杨老师将图2中的
绕点B顺时针方向旋转，当点C，B，E三点不在一条直线上时，如图3所示，并让同学们提出新的问题并解决新问题．
①“洞察小组”提出问题是（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请你证明，若不成立；请你写出新的结论，并证明；
②“思辨小组”提出问题是：若正方形的边长是4，把图2中的绕点B顺时针方向旋转一周，当点C，B，F三点共线时，请你直接写出的面积．
和，其中，将和按图2所示方式摆放（点C，B，E三点共线），其中点B与点D重合（标记为点B）．连接，取的中点M，过点F作交的延长线于点N．
的形状，直接写出答案．(2)深入探究：杨老师将图2中的
绕点B顺时针方向旋转，当点C，B，E三点不在一条直线上时，如图3所示，并让同学们提出新的问题并解决新问题．①“洞察小组”提出问题是（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请你证明，若不成立；请你写出新的结论，并证明；
②“思辨小组”提出问题是：若正方形的边长是4，把图2中的
绕点B顺时针方向旋转一周，当点C，B，F三点共线时，请你直接写出的面积．
更新时间：2023-11-30 19:22:15
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较难
(0.4)
【推荐1】在平面直角坐标系中，点
在
轴负半轴上，点
在
轴正半轴上，连
．
(1)已知：
．
①如图1，点
，连
，过点作
于点
，
交
于点
，若
，求线段
的长．
②如图2，点
，连
，过点作
于点
，过点
作
交
的延长线于点
，求点关于轴或轴对称的点的坐标．
(2)我们都知道，一副三角板一般都有两个不同的三角板，其中的一个如图三角板，其特点之一是两条直角边
满足
，我们称它是等腰直角三角板．这样的三角形我们称它是等腰直角三角形．如图3，点
为
的内角平分线的交点，过点作
于点
，连
，过点作
交轴于点
，若
，求
的值．
在轴负半轴上，点在轴正半轴上，连． (1)已知：
．①如图1，点
，连，过点作于点，交于点，若，求线段的长．②如图2，点
，连，过点作于点，过点作交的延长线于点，求点关于轴或轴对称的点的坐标．(2)我们都知道，一副三角板一般都有两个不同的三角板，其中的一个如图三角板，其特点之一是两条直角边
满足，我们称它是等腰直角三角板．这样的三角形我们称它是等腰直角三角形．如图3，点为的内角平分线的交点，过点作于点，连，过点作交轴于点，若，求的值．
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(0.4)
【推荐2】如图，将置于直角坐标系中，
，
，点B、C分别在x轴、y轴上，且
，
．
（1）如图1，求点A的坐标；
（2）如图2，AC、AB分别交x轴、y轴于D、E，请直接写出
的值．
（3）如图2，M为OB上一点，
，且
，N为MB的中点，连接CN，AF，判断线段AF与CN的关系，并写出证明过程．
置于直角坐标系中，，，点B、C分别在x轴、y轴上，且，．（1）如图1，求点A的坐标；
（2）如图2，AC、AB分别交x轴、y轴于D、E，请直接写出
的值．（3）如图2，M为OB上一点，
，且，N为MB的中点，连接CN，AF，判断线段AF与CN的关系，并写出证明过程．
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．
的中点，连接
，过C点作
于点
，求
的面积：
边上的点，且
，连接
交
的中点，连接
，猜想线段
和
之间存在的数量关系，并证明你的猜想：
，连接
，以
，连接
并延长至点P使
，当
最短时，请直接写出
的值．
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(0.4)
【推荐1】在10×10网格中，点A和直线l的位置如图所示：
（1）将点A向右平移6个单位，再向上平移2个单位长度得到点B，在网格中标出点B；
（2）在（1）的条件下，在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小，保留画图痕迹，并直接写出PA＋PB的最小值：______；
（3）结合（2）的画图过程并思考，直接写出
＋
的最小值：____
（1）将点A向右平移6个单位，再向上平移2个单位长度得到点B，在网格中标出点B；
（2）在（1）的条件下，在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小，保留画图痕迹，并直接写出PA＋PB的最小值：______；
（3）结合（2）的画图过程并思考，直接写出
＋的最小值：____
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(0.4)
【推荐2】如图，直线
：
分别与
轴、
轴交于A、B两点，点C线段AB上，作CD⊥x轴于D, CD="2OD," 点E线段OB上,且AE=BE；
（1）填空：点C的坐标为（ ， ）；点E的坐标为（ ， ）；
（2）直线
过点E，且将△AOB分成面积比为1：2的两部分，求直线的表达式；
（3）点P在x轴上运动，
①当PC+PE取最小值时，求点P的坐标及PC+PE的最小值；
②当PC-PE取最大值时，求点P的坐标及PC-PE的最大值；
：分别与轴、轴交于A、B两点，点C线段AB上，作CD⊥x轴于D, CD="2OD," 点E线段OB上,且AE=BE；（1）填空：点C的坐标为（ ， ）；点E的坐标为（ ， ）；
（2）直线
过点E，且将△AOB分成面积比为1：2的两部分，求直线的表达式；（3）点P在x轴上运动，
①当PC+PE取最小值时，求点P的坐标及PC+PE的最小值；
②当PC-PE取最大值时，求点P的坐标及PC-PE的最大值；
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(0.4)
【推荐3】问题提出
（1）如图1．在半径为3的
中，，
为弦，则
的最大值为______．
问题探究
（2）如图2．在
中，
，
，
，为上任意一点，为上任意一点，连接
，
，求
的最小值．
问题解决
（3）如图3．某同学云用由脑编程设计了一款游戏，在一个“曲边”中，，
为线段，
，为一段弧线，
所在的圆与相切，为上一点，一只电子蚂蚁从点出发，其爬行路径为折线
，其中
，在段爬行的过程中，当
时，电子蚂蚁停止移动．已知所在圆的半径为6，的长度为
．结合题意，问当电子蚂蚁停止爬行时，线段是否存在最小距离？若存在，求出的最小距离；若不存在，请说明理由．
（1）如图1．在半径为3的
中，，为弦，则的最大值为______．问题探究
（2）如图2．在
中，，，，为上任意一点，为上任意一点，连接，，求的最小值．问题解决
（3）如图3．某同学云用由脑编程设计了一款游戏，在一个“曲边
”中，，为线段，，为一段弧线，所在的圆与相切，为上一点，一只电子蚂蚁从点出发，其爬行路径为折线，其中，在段爬行的过程中，当时，电子蚂蚁停止移动．已知所在圆的半径为6，的长度为．结合题意，问当电子蚂蚁停止爬行时，线段是否存在最小距离？若存在，求出的最小距离；若不存在，请说明理由．
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(0.4)
【推荐1】已知，如图，矩形
中，
，
，菱形
的三个顶点E，G，H分别在矩形的边，，
上，
，连接
．
(1)若
，求证四边形为正方形；
(2)若
，求
的面积；
(3)当
为何值时，的面积最小．
中，，，菱形的三个顶点E，G，H分别在矩形的边，，上，，连接． (1)若
，求证四边形为正方形；(2)若
，求的面积；(3)当
为何值时，的面积最小．
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(0.4)
【推荐2】【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．
【理解运用】
（1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝AB，求sin ∠CAD的值；
（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2＋CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论．
【理解运用】
（1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝AB，求sin ∠CAD的值；
（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2＋CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论．
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(0.4)
【推荐3】问题提出
（1）如图①，中，
，
，
，则的面积为 ．
问题探究
（2）如图②，在四边形中，
，
，且
，求证：
．
问题解决
（3）市规划办计划将一块空地改造成一个四边形的休闲广场，并在广场中种植三种花卉，四边形的休闲广场如图③，已知：
，
，
，E为上的一个观赏台，且
，
米，的长度不超过50米，不小于20米，其中
、
和
分别种植三种花卉的价格分别为每平方米30元、20元、40元，
为观赏通道，种植花卉的费用是否存在最小值，如果存在，请求出最小费用，如果不存在，请说明理由．（参考数据：
，
，结果精确到1元）
（1）如图①，
中，，，，则的面积为 ．问题探究
（2）如图②，在四边形
中，，，且，求证：．问题解决
（3）市规划办计划将一块空地改造成一个四边形的休闲广场，并在广场中种植三种花卉，四边形的休闲广场如图③，已知：
，，，E为上的一个观赏台，且，米，的长度不超过50米，不小于20米，其中、和分别种植三种花卉的价格分别为每平方米30元、20元、40元，为观赏通道，种植花卉的费用是否存在最小值，如果存在，请求出最小费用，如果不存在，请说明理由．（参考数据：，，结果精确到1元）
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
真题
名校
【推荐1】如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．
（1）直接写出∠NDE的度数；
（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其它条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；
（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD=
，其他条件不变，求线段AM的长．
（1）直接写出∠NDE的度数；
（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其它条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；
（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD=
，其他条件不变，求线段AM的长．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E两点分别在AC，BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现：当 α＝0°时，
的值为 ；
（2）拓展探究：当0°≤ α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出的值；
（3）问题解决：当△EDC旋转至A，B，E三点共线时，若设CE＝10，AC＝8，直接写出线段BE的长．
（1）问题发现：当 α＝0°时，
的值为 ；（2）拓展探究：当0°≤ α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出
的值；（3）问题解决：当△EDC旋转至A，B，E三点共线时，若设CE＝10，AC＝8，直接写出线段BE的长．
您最近一年使用：0次
【推荐3】如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上(不与点A，B重合)，点F在BC边上(不与点B、C重合)．
第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；
第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；
依此操作下去…
(1)图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为 ，求此时线段EF的长；
(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH．
①请判断四边形EFGH的形状为 ，此时AE与BF的数量关系是 ；
②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．
第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；
第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；
依此操作下去…
(1)图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为 ，求此时线段EF的长；
(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH．
①请判断四边形EFGH的形状为 ，此时AE与BF的数量关系是 ；
②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．
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