【推荐1】已知和都是等腰直角三角形，，，，连接、．
   
(1)如图1，若点、、在同一直线上，已知，，求线段的长度．
(2)如图2，当时，过点作并交的延长线于点，与交于点，求证：．
(3)如图3，已知若，直线与直线相交于点，过点作直线垂直于，点是直线上一点，直接写出的最小值．

【推荐2】【问题发现】
（1）如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线．猜想线段，之间的数量关系为      ；      ；
【类比探究】
（2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，B、D、E三点共线，线段、交于点F．此时，线段，之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数；
【拓展延伸】
（3）如图3所示，在中，，，， 为的中位线，将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长．

【推荐3】已知△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D．若△ABC的一条边长为6，求点D到直线AB的距离．

【推荐1】在矩形中，，点E是边的中点，点P是对角线上一动点，连接，作点A关于直线的对称点的；
      
(1)若点P是的中点，求的长度．
(2)若是以为腰的等腰三角形，求的长度；
(3)直线交于点Q，连接，若是直角三角形，求的长度．

【推荐2】如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A．

（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）求∠B的度数．
（3）若⊙O半径是4，点E是弧AC上的一个动点，过点E作EM⊥OA于点M，作EN⊥OC于点N，连接MN，问：在点E从点A运动到点C的过程中，MN的大小是否发生变化？如果不变化，请求出MN的值；如果变化，请说明理由．

【推荐1】如图，四边形是的内接四边形，为对角线，．

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点O作于点F，交于点E，连接并延长交于点P，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作交于点G，连接交于点H，若，求的面积．

【推荐2】已知正方形，经过点，，且与边相切于点，连接．
（1）如图，求证：；
（2）如图，连接，点是圆上一点平分，过点作交的延长线于点．
①求证：是的切线；
②若正方形的边长为，求的值．
   

【推荐3】如图，在中，为直径，过点的直线与相交于点，是弦延长线上一点，，的平分线与分别相交于点，，是的中点，过点作，与，的延长线分别交于点，．

（1）求证：是的切线；
（2）若，．
①求的半径；
②连接，求的值．