【推荐1】如图，四边形ABCD是矩形．

(1)如图1，E、F分别是AD、CD上的点，BF⊥CE，垂足为G，连接AG．
①求证：．
②若G为CE的中点，∠DAG＝∠CBG，求证：sin∠AGB=；
(2)如图2，将矩形ABCD沿MN折叠，点A落在点R处，点B落在CD边的点S处，连接BS交MN于点P，Q是RS的中点，若AB＝2，BC＝3，求PS+PQ的最小值．

【推荐3】将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立．

(1)直接写出点D、E的坐标：D______，E______．
(2)，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
①如图①，求证；
②如图②，连接AF交DC于点G，作交AE于点M，作交AF于点N，连接MN，求四边形MNGE的面积．
(3)如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且，求的最小值．

【推荐1】阅读下面材料：
子薇遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．子薇是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图2），此时即是．

请回答：在图2中，的度数是       ．
参考子薇得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，在直角梯形ABCD中，，，，E是CD上一点，若，，求BE的长度．
（2）如图4，已知线段，线段绕点旋转，且，连接，以为边作正方形，连接．求线段的最大值．

【推荐3】如图，在四边形中，，，，，，点在边上，且．将线段绕点按顺时针方向旋转到，的平分线所在直线交折线于点，设点在该折线上运动的路经长为，连接，．
         
(1)如图①，当点在上时，若点到的距离为1，求的值．
(2)当时，在图②中画出图形，并求的值；
(3)当时，请直接写出点到直线的距离（用含的式子表示）．

【推荐1】已知BD为正方形ABCD的对角线，P、Q两点分别在AB、BD上，且满足∠PCQ=∠ABD.
(1)求：的值；
(2)由于四边形不具稳定性，把正方形ABCD沿D向右拉动,使∠BAD=120〫时,此时线段CD、DQ、BP有何数量关系，请说明理由.
(3)如图3,在(2)的条件下,延长CQ交AD边于点E交BA的延长线于点M,作∠DCE的平分线交AD边于点F,若CQ：PM=5：7,EF= a，求线段CD的长.

【推荐3】如图，已知抛物线与轴相交于两点，点坐标为，抛物线的对称轴是直线
   
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是轴右侧抛物线图像上的一动点，设点的横坐标为.
①是否存在这样的点使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
②若该动点在第一象限内，连接，当时，求的值

【推荐1】对于点，和图形，给出如下定义：如果图形上存在一点，使，，则称点为点关于图形的一个“旋垂点”， 的长称为“垂距”．在平面直角坐标系中：
(1)已知点，，
①在点，，中，点关于点的“旋垂点”是__________；
②若点是点关于线段的“旋垂点”，求点的横坐标的取值范围；
(2)的圆心为，半径为，直线与轴，轴分别交于，两点，若在上存在点，使得点关于的一个“旋垂点”在线段上存在，且“垂距”为，直接写出的取值范围．

【推荐2】（1）【问题提出】如图1，在矩形中，，，点E为的中点，点P为矩形内以为直径的半圆上一点，则的最小值为       ．

（2）【问题探究】如图2，在中，为边上高，且，点P为内一点，当时，求的最小值；
（3）【问题解决】李伯伯家有一块直角三角形菜园，如图3，米，，，李伯伯准备在该三角形菜园内取一点P，使得，并在内种植当季蔬菜，边的中点D为菜园出入口，为了种植方便，李伯伯打算在边上取点E，并沿、修两条人行走道，为了节省时间，要求人行走道的总长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图1，已知等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D是边BC上一点，以点D为直角顶点、AD为直角边向右侧作等腰直角△ADE，连接CE．
（1）若AB＝3，∠ADC＝60°，求CE的长；
（2）当点D向点C移动，可得到图2，求证：AB－CE＝CD；
（3）如图3，AE交BC于点F，当AF＝AD时，请直接写出BD，CE，DF的相等关系．