【推荐1】如图1，在中，，,点D，E分别在边，，连接，，点F是线段中点,连接交于点H．

(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ______，位置关系是_____；
(2)探究证明：把处点C逆时针旋转α．如图2，请问（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由
(3)拓展延伸∶把绕点C旋转，当点D旋转到直线上时，连接，试探究与、之间有怎样的数量关系？

【推荐2】如图，四边形是正方形，点在对角线上，点在边上，．
   
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，作于，连接，若，．求的长．

【推荐3】（1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、，则与的数量关系是_____；
（2）如图2，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接、．判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值．

【推荐1】（1）课本再现：如图所示的是北师大版九年级上册数学课本上的一道题：如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为，．求的值．如图1，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值，请你写出求解过程．
（2）知识应用：如图2，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合），过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长．
（3）如图3，当点是等边外一点时，过点分别作直线、、的垂线、垂足分别为点、、．若，请直接写出的面积．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线分别交x轴，y轴于点A，B．

(1)求的度数；
(2)点C是线段上一点，连接，以为直角边作等腰直角，其中，且点D在第三象限，连接．设点C的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，连接，点F是的中点，连接并延长交x轴于点G，过点D作交x轴于点H，若，，求点D的坐标．

【推荐1】取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B'，得Rt△AB'E，如图2；第三步：沿EB'线折叠得折痕EF，使A点落在EC的延长线上，如图3．　　
利用展开图4探究：     
（1）△AEF是什么三角形?证明你的结论；
（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由．

【推荐3】已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．

（1）如图①，当∠BOP＝30°时，直接写出点B′的坐标为　 　；
（2）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；
（3）如图③，在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标．

【推荐3】在平面直角坐标系中，若点和点关于轴对称，点和点关于直线对称，则称点是点关于轴，直线的完美点．
（1）如图1，点．
①若点是点关于轴，直线的完美点，则点的坐标为__________ ；
②若点是点关于轴，直线的完美点，则的值为__________；
（2）如图2，⊙的半径为1．若⊙上存在点，使得点是点关于轴，直线的完美点，且点在函数的图象上，求的取值范围；
（3）是轴上的动点，⊙的半径为2，若⊙上存在点，使得点是点关于轴，直线的完美点，且点在轴上，直接写出的取值范围．