【推荐1】在中，，，为上一点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，过作交于，连接．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求．

【推荐2】定义：如图，为直线同侧的两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点关于直线的“等角点”．
如图①，在中，分别是上的点，，然后将绕点顺时针旋转一定角度，连接，得到图②，延长交的延长线于点，延长至点，使，连接，得到图③，请解答下列问题：
（1）在图②中，与的数量关系是          ；
（2）在图③中，求证：点为点，关于直线的“等角点”．

【推荐3】在中，，，如图所示作正方形，并连接．

(1)操作发现：如图1，当点D在线段上时，请你直接写出与的位置关系为        ；线段的数量关系为     ．
(2)猜想论证
当点D在直线上运动时，如图2，是点D在线段的延长线上时，是点D在线段的延长线上时，
请你直接写出图2，图3中，线段的数量关系：
①图2中线段的数量关系为：           ，
②图3中线段的数量关系为：          
(3)拓展延伸
当点D在直线上运动时，若，
①你直接写出三角形的面积           ，
②直接写出线段的长度           ．

【推荐2】如图，AB为⊙O的直径，为⊙O的内接三角形，过点D作⊙O的切线DE交BA的延长线于点E，连接AD．

(1)求证：；
(2)若，，求AE的长．

【推荐1】实践与探究：

【操作一】：如图①，已知矩形纸片，点和点分别是和上的点，将矩形沿折叠，使点与点重合，点的对应点是点．求证：；

【操作二】：在操作一的基础上，将矩形纸片沿继续折叠，点的对应点是点．我们发现，当矩形的邻边长度比值不同时，点的位置也不同．如图（2），当点恰好落在折痕上时，     ；

【拓展】：如图（3），在【操作二】中点恰好落在折痕上时，点N为上任意一点，连接、．若，则的最小值为     ．

【推荐2】综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

　

(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点在上时，写出图1中一个的角：______．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接．
①如图2，当点在上时，______°，______°；
②改变点在上的位置（点不与点，重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．

【推荐1】如图①，中，，、∠C的平分线交于点，过点作交、于、.试回答：
（1）图中等腰三角形有________个.猜想：与、之间的关系是________.说明理由；
（2）如图②，若，图中等腰三角形有________个，在第（1）问中与、间的关系还存在吗？
（3）如图③，若中的平分线与三角形外角平分线交于，过点作交于，交于，这时图中还有等腰三角形吗？与、关系又如何？说明你的理由.

【推荐2】如图，在长方形中，，．延长到点，使，连接．动点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动，设点运动的时间为（秒）．

(1)的长为______．
(2)连接，当时，求的值．
(3)连接．
①当是直角三角形时，求的值．
②当是等腰三角形时，直接写出的值．

【推荐3】在平面直角坐标系xOy中，点A（t﹣1，1）与点B关于过点（t，0）且垂直于x轴的直线对称．
（1）以AB为底边作等腰三角形ABC，
①当t＝2时，点B的坐标为 　 　；
②当t＝0.5且△ABC为等腰直角三角形时，点C的坐标为 　 　；
③若△ABC上所有点到y轴的距离都不小于1，则t的取值范围是 　 　．
（2）以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，直线m过点（0，b）且与x轴平行，若直线m上存在点P，△ABD上存在点K，满足PK＝1，直接写出b的取值范围．