【推荐1】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P是线段BC上任意一点，以点P为圆心PB为半径的圆与线段AB相交于点Q（点Q与点A、B不重合），∠CPQ的角平分线与AC相交于点D．
   
（1）如果DQ=PB，求证：四边形BQDP是平行四边形；
（2）设PB=x，△DPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）如果△ADQ是以DQ为腰的等腰三角形，求PB的长．

【推荐3】已知，如图，把三角形MON顶点O放在直线上．
（1）如图1，若∠MON＝90°，射线平分，，求的度数；
（2）如图2，若OM、ON分别是∠AOC和∠BOC的角平分线，求∠MON的度数．
（3）在（2）的条件下，若将三角形绕点旋转到如图3所示的位置，射线平分，试写出和之间的数量关系，并说明理由．

【推荐1】已知：四边形是正方形，点在边上，点在边上，且．

(1)如图，与有怎样的关系．写出你的结果，并加以证明；
(2)如图，对角线与交于点．，分别与，交于点，点．
①求证：；
②连接，若，，求的长．

【推荐2】已知△ABC中，∠ABC＝，AB＝BC，点A、B分别是x轴和y轴上的一动点．
（1）如图，若点C的横坐标为﹣4，求点B的坐标；
（2）如图，BC交x轴于D，若点C的纵坐标为3，A(5，0)，求D点坐标；
（3）如图，在平面直角坐标系中，分别以OB、AB为直角边在第三、四象限作等腰Rt△OBF（OB＝BF，∠OBF＝）和等腰Rt△ABE（AB＝BE，∠ABE＝），EF交y轴于点M，求的值．
   

【推荐3】如图，点P在射线的上方，、，点M是射线上的动点（点M不与点A重合），现将点P绕点A按顺时针方向旋转到点Q，将点M绕点P按逆时针方向旋转到点N，连接，作直线．

(1)求证：；
(2)直线与以点P为圆心，的长为半径的圆是否存在相切的情况？若存在，请求出此时和的关系，若不存在，请说明理由；
(3)若，当以点P为圆心，长为半径的圆经过点Q时，直接写出劣弧与两条半径所围成的扇形的面积．

【推荐1】数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：．

经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路．取AB的中点H，连接HE，则为等腰直角三角形，这时只需证与全等即可．
在此基础上，同学们进行了进步的探究：
(1)小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由；
(2)小华提出：如图3．如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“”是否成立？如果成立，请写出证明过程，如果不正确，请说明理由；
(3)小丽提出：如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为BC边上（不含点B，C）的某一点时，点F恰好落在直线上，请直接写出此时点E的坐标．

【推荐2】如图，在正方形中，是边上一动点不与点，重合，连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，过点作于．

(1)①依题意补全图形；②求的度数．
(2)连接，请用等式表示线段与线段之间的数量关系，并证明．

【推荐1】如图在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点的坐标为，平行于对角线的直线从原点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线与菱形的两边分别交于点、，直线运动的时间为（秒）．

（1）求点的坐标；
（2）当时，求的值；
（3）设的面积为，求与的函数表达式，并确定的最大值．

【推荐2】如图，在中，，，．点是边上的一动点，点从点出发以每秒的速度沿方向匀速运动，以为边作等边（点、点Q在同侧），设点运动的时间为秒，与重叠部分的面积为S．
   
(1)当点落在内部时，求此时与重叠部分的面积（用含的代数式表示，不要求写的取值范围）；
(2)当点落在上时，求此时与重叠部分的面积的值
(3)当点落在外部时，求此时与重叠部分的面积（用含的代数式表示）．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积；
(3)点P为反比例函数图象上一点，连接，若，求点P的坐标．