在平面直角坐标系
中，
的半径为1．对于的弦
和点C给出如下定义：若点C在弦的垂直平分线上，且点C关于直线的对称点在上，则称点C是弦的“关联点”．
(1)如图，点
，
．在点
，
，
，
中，弦的“关联点”是______；
(2)若点
是弦的“关联点”，直接写出的长；
(3)已知点
，
．对于线段
上一点S，存在的弦
，使得点S是弦的“关联点”．记的长为t，当点S在线段上运动时，直接写出t的取值范围．
中，的半径为1．对于的弦和点C给出如下定义：若点C在弦的垂直平分线上，且点C关于直线的对称点在上，则称点C是弦的“关联点”．(1)如图，点
，．在点，，，中，弦的“关联点”是______；(2)若点
是弦的“关联点”，直接写出的长；(3)已知点
，．对于线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”．记的长为t，当点S在线段上运动时，直接写出t的取值范围．
更新时间：2024-01-10 20:50:24
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(0.4)
名校
【推荐1】如图，已知长方形
的顶点
在坐标原点，
、
分别在
、
轴的正半轴上，顶点
，直线
经过点交
于
，交轴于点
，点
是
的中点，直线
交于点
.
（1）求点的坐标及直线的解析式；
（2）在轴上有一点
，过点
作轴的垂线，分别交直线
、于点
、
，在线段
上是否存在一点
，使得
为等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标及相应的
的值；若不存在，请说明理由.
的顶点在坐标原点，、分别在、轴的正半轴上，顶点，直线经过点交于，交轴于点，点是的中点，直线交于点.（1）求点
的坐标及直线的解析式；（2）在
轴上有一点，过点作轴的垂线，分别交直线、于点、，在线段上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标及相应的的值；若不存在，请说明理由.
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【推荐2】如图①，在平面直角坐标系中，等边
的顶点，
的坐标分别为
，
，点是轴正半轴上一个动点，连接
，将
绕点逆时针旋转
得到
，连接
．
（1）并判断
的形状，说明理由．
（2）如图②，当在线段上运动时，
的周长随点的移动而变化，求出的最小周长．
（3）当是直角三角形时，直接写出点的坐标．
的顶点，的坐标分别为，，点是轴正半轴上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接．（1）并判断
的形状，说明理由．（2）如图②，当
在线段上运动时，的周长随点的移动而变化，求出的最小周长．（3）当
是直角三角形时，直接写出点的坐标．
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【推荐3】在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为
，
，现将线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段
，连接，．
（1）如图1，求点，的坐标及四边形
的面积；
（2）如图1，在轴上是否存在点，连接
，
，使
？若存在这样的点，求出点的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）如图2，在直线上是否存在点，连接
，使
？若存在这样的点，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由．
（4）在坐标平面内是否存在点，使
？若存在这样的点，直接写出点的坐标的规律；若不存在，请说明理由．
，的坐标分别为，，现将线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，连接，．（1）如图1，求点
，的坐标及四边形的面积；
（2）如图1，在
轴上是否存在点，连接，，使？若存在这样的点，求出点的坐标；若不存在，试说明理由；（3）如图2，在直线
上是否存在点，连接，使？若存在这样的点，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由．
（4）在坐标平面内是否存在点
，使？若存在这样的点，直接写出点的坐标的规律；若不存在，请说明理由．
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【推荐1】在学习了平行四边形这章书后，小宁同学对几何图形的相关知识产生了浓厚的兴趣，于是他从课本出发开展了如下探究：
【课本再现】我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等．反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？小宁对此展开了探究．
如图①，在四边形中，已知
，
，求证：四边形是平行四边形．
小宁的思路如下：连接
，通过证明
，得到
，最后可证得四边形是平行四边形．请你根据小宁的思路将证明过程补充完整；
【变式探究】如图②，在平行四边形
中，
，对角线
，求证：四边形是正方形；
【拓展应用】在图②的条件下，点是对角线上一点，连接
，过点作
交于点，连接
交于点，
，
，求
的长．
【课本再现】我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等．反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？小宁对此展开了探究．
如图①，在四边形
中，已知，，求证：四边形是平行四边形．小宁的思路如下：连接
，通过证明，得到，最后可证得四边形是平行四边形．请你根据小宁的思路将证明过程补充完整；【变式探究】如图②，在平行四边形
中，，对角线，求证：四边形是正方形；【拓展应用】在图②的条件下，点
是对角线上一点，连接，过点作交于点，连接交于点，，，求的长．
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【推荐2】已知，四边形是正方形，
绕点D旋转
，
，
，连接
．与线段
的关系是______，并说明理由；已知直线与相交于点G．
(2)如图2，
于点M，
于点N，求证：四边形
是正方形；
(3)如图3，连接
，若
，
，在旋转的过程中，线段长度的最小值是______．
是正方形，绕点D旋转，，，连接．
与线段的关系是______，并说明理由；已知直线与相交于点G．(2)如图2，
于点M，于点N，求证：四边形是正方形；(3)如图3，连接
，若，，在旋转的过程中，线段长度的最小值是______．
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，以
、
，连
、
．
关于点
，并证明：
；
，
，菱形
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(0.4)
【推荐1】已知△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，方程
是关于x的一元二次方程．
（1）判断方程的根的情况为 （填序号）；
①方程有两个相等的实数根； ②方程有两个不相等的实数根；
③方程无实数根； ④无法判断
（2）如图，若△ABC内接于半径为2的⊙O，直径BD⊥AC于点E，且∠DAC=60°，求方程的根；
（3）若
是方程的一个根，△ABC的三边a、b、c的长均为整数，试求a、b、c的值．
是关于x的一元二次方程．（1）判断方程
的根的情况为 （填序号）；①方程有两个相等的实数根； ②方程有两个不相等的实数根；
③方程无实数根； ④无法判断
（2）如图，若△ABC内接于半径为2的⊙O，直径BD⊥AC于点E，且∠DAC=60°，求方程
的根；（3）若
是方程的一个根，△ABC的三边a、b、c的长均为整数，试求a、b、c的值．
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【推荐2】在半圆O中，AB为直径，AC，AD为两条弦，且∠CAD＋∠DAB＝90°．
等于
；
(2)如图2，点F在直径AB上，DF交AC于点E，若AE＝DE，求证：AC＝2DF；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接BC，若AF＝2，BC＝6，求弦AD的长．
等于；(2)如图2，点F在直径AB上，DF交AC于点E，若AE＝DE，求证：AC＝2DF；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接BC，若AF＝2，BC＝6，求弦AD的长．
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内接于
于点E，交CD于点F．
；
，AC＝8，求EF的长．
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【推荐1】如图，抛物线
与轴相交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为
，抛物线的对称轴为直线
，点是上方抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当
的面积为
时，求点的坐标；
(3)过点作
，垂足为点，是否存在点，使得
中的某个角等于
的2倍？若存在，请直接写出点的横坐标 ；若不存在，请说明理由．
与轴相交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，点是上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当
的面积为时，求点的坐标；(3)过点
作，垂足为点，是否存在点，使得中的某个角等于的2倍？若存在，请直接写出点的
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【推荐2】如图，
为等腰三角形，
，
，点为的中点，过作
于点．点为射线
上一点，为线段上一点（不与点，重合），连结．
(1)求，
的长；
(2)若
，将点绕点逆时针旋转
，得到点，当点落在
的一边上时，求
的长；
(3)当点与点重合时，在线段上取点，使点、关于成轴对称，求点到的距离
．
为等腰三角形，，，点为的中点，过作于点．点为射线上一点，为线段上一点（不与点，重合），连结．(1)求
，的长；(2)若
，将点绕点逆时针旋转，得到点，当点落在的一边上时，求的长；(3)当点
与点重合时，在线段上取点，使点、关于成轴对称，求点到的距离．
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中，点D是线段
并延长，交射线
之间的数量关系，并证明．
