【推荐1】如图，△ABC中，交AC于P，∠ACB，∠ACD的平分线分别交MN于E、F．

(1)求证：；
(2)当MN与AC的交点P在AC的什么位置时，四边形AECF是矩形，说明理由；
(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．（不需要证明）

【推荐2】如图，△ABC中，AB=AC，∠B的平分线交AC于D，E是BD延长线上的一点，且AE=AC．

（1）求证：AE//BC；
（2）若AD=DC=2，求BC的长．

【推荐3】已知，平分．
   
(1)如图1将三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，现探究、的大小关系：
①特例探究：当三角尺的两条直角边分别与、垂直，垂足为E、F时，依据学过的定理： （写出定理文字表述的具体内容），得到；
②一般探究：当三角尺的两条直角边分别交、于点E、F时，试判断： （填“”、“”或“”）；
(2)如图2，点P是内一点，E、F分别在边、上，，．求证：点P在上；
(3)在（2）的条件下，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知是第一象限的角平分线，若点P的坐标为．
①求点P的坐标；
②过点P作交x轴于点G，交y轴于点H，当点E从点H运动到点O时，则的中点Q运动所形成的路径长为     ．

【推荐1】如图，已知直线与相离，于点，与相交于点，与相切于点的延长线交直线于点．

(1)请证明：；
(2)若，求的半径和线段的长；
(3)若在上存在点，使是以为底边的等腰三角形，请直接写出的半径的取值范围．

【推荐2】如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以AD为边向外作Rt△ADE，∠AED＝90°，连接OE．

(1)将△AOE绕点O顺时针旋转90°，得△A'OE'．
①画出△A'OE'；②判断点E'是否在直线ED上，并说明理由；
(2)若DE＝4，OE＝，求AE的长．

【推荐3】如图，点在线段上，，，，交于点．

(1)尺规作图：过点作线段的垂线交于点．基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论)
(2)求证．
证明：
　　
在和中，


，　　，
．


　　
　　
．

【推荐1】如图，在Rt∆ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E．

（1）求证：点E是边BC的中点；
（2）求证：BC²＝BD∙BA；
（3）当AC＝BC时，四边形OCED是什么四边形，证明你的结论．

【推荐2】如图，内接于，是的直径，的切线交的延长线于点，过点作交于点，连接，交于点．

(1)求证：；
(2)若的半径为，，求的长；
(3)在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．

【推荐3】如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C
（1）求证：AE与⊙O相切于点A；
（2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的长．

   

【推荐1】如图，将半径为5的扇形，绕点O逆时针旋转得到扇形．
   
(1)与的数量关系是：________；
(2)求证：；
(3)当为直径时，，求的值及优弧的长．

【推荐2】等边三角形的边长为1厘米，面积为0.43平方厘米．以点A为圆心，长为半径在三角形外画弧，交的延长线于点，形成扇形；以点B为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点E，形成扇形；以点C为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点F，形成扇形．
   
(1)求所得的图形的周长；（结果保留π）
(2)照此规律画至第十个扇形，求所围成的图形的面积以及所画出的所有弧长的和．（结果保留π）