【推荐1】在中，，，点O为的中点，点D在直线上（不与点A，B重合），连接，线段绕点C逆时针旋转90°，得到线段，过点B作直线，过点E作，垂足为点F，直线交直线于点G．
(1)如图1，当点D与点O重合时，连接，若，则 ．
   
(2)如图2，当点D在线段上时，探究线段，与之间的数量关系，并证明；
   
(3)连接，的面积记为，的面积记为，当时，求出的值．
   

【推荐2】（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA．
应用图1的数学模型解决下列问题：
（2）如图2，已知直线l₁：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l₁绕点A逆时针旋转45°至直线l₂；求直线l₂的函数表达式；
（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．若△CPD为等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．

【推荐3】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D为AB上一点，连接CD，分别过点A、B作AN⊥CD，BM⊥CD．
（1）求证：AN＝CM；
（2）若点D满足BD：AD＝2：1，求DM的长；
（3）如图2，若点E为AB中点，连接EM，设sin∠NAD＝k，求证：EM＝k．
   

【推荐1】如图，是斜边上的高，延长至点E，连接，过点C作，垂足为F，分别交、于点M、N．

(1)若，求证：①平分；②．
(2)若，，求的长．

【推荐2】（1）如图1，为边长为2的等边三角形，D是边上一点且平分的面积，则线段的长度为           ；
（2）如图2，在平行四边形中，，，，点M在上，且，点N在上，若平分四边形的面积，则的长度为           ；
（3）如图3，凸四边形ABCD为某空地的示意图，经测量，米，米，米，点E在AB边上满足．为了美化环境，现规划在空地内种植花卉，并从点D修一条笔直的观光小路（点F在上），请问是否存在，使得平分该空地的面积？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由．（小路DF的宽度不计）．
   

【推荐1】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点，与轴交于点C（1，0），若，且．

(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集．

【推荐2】如图1，四边形是正方形，是边上的一个动点（点与不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系：

   

（）猜想如图中线段，线段的数量关系是______ ；线段，的位置关系____
类比探究：
（）将图中的正方形绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图，如图情形，请你判断（）中得到的结论是否仍然成立，并选取图证明你的判断；
拓展应用：
（）已知，，在正方形绕点旋转的过程中，当点在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在x轴的正半轴上，直线交y轴于点M，边交y轴于点H，连接．

(1)填空：菱形的边长______；
(2)求直线的解析式；
(3)动点P从点A出发，沿折线方向以3个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设的面积为，点P的运动时间为t秒，
①当时，求S与t之间的函数关系式；
②在点P运动过程中，当，请直接写出t的值．

【推荐1】（本题满分14分）如图，在正方形ABCD中，AB=5.点E为BC边上一点（不与点B重合），点F为CD边上一点，线段AE、BF相交于点O,其中AE=BF.

(1)求证：AE⊥BF；
(2)若OA-OB=1，求OA的长及四边形OECF的面积；
(3)连接OD,若△AOD是以AD为腰的等腰三角形，求AE的长.

【推荐3】如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为OC上动点（不与O、C重合），作AF⊥BE，垂足为G，分别交BC、OB于F、H，连接OG、CG.
（1）求证：AH=BE；
（2）∠AGO的度数是否为定值？说明理由；
（3）若∠OGC=90°，BG=，求△OGC的面积.