如图，在
中，
，
，
为
边上的中线.点
从点
出发，以每秒
个单位长度的速度沿
向终点
运动.同时点
从点
出发，以每秒4个单位长度的速度沿
向终点A运动，连接
，将线段绕点逆时针旋转
得到线段
，以、为边作正方形
.设点运动的时间为
秒
.
(1)的长为______；
(2)求点到的距离；（用含的代数式表示）
(3)当点
落在上时，直接写出的长；
(4)连接
，当与平行或垂直时，直接写出的值．
中，，，为边上的中线.点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动.同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿向终点A运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，以、为边作正方形.设点运动的时间为秒.(1)
的长为______；(2)求点
到的距离；（用含的代数式表示）(3)当点
落在上时，直接写出的长；(4)连接
，当与平行或垂直时，直接写出的值．
更新时间：2024-01-16 22:24:45
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较难
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【推荐1】在长方形
中，
，
，点
在线段
上运动，将线段
绕点顺时针旋转
至
，连接
，
．点落在
边上时，求的长度；
(2)如图2，在运动过程中，当线段
最短时，求
的度数；
(3)连接
，当
为等腰三角形时，直接写出的长度．
中，，，点在线段上运动，将线段绕点顺时针旋转至，连接，．
点落在边上时，求的长度；(2)如图2，在运动过程中，当线段
最短时，求的度数；(3)连接
，当为等腰三角形时，直接写出的长度．
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【推荐2】问题情境：在学习了正方形后，彩虹中学的2101班的同学对正方形进行了探究，特邀请你一起加入此次的探究：如图，正方形的边长为6，点E是对角线
上的动点，连接．
(1)【探究】如图1：若过点E作
交于点F，经过探究，请你猜想与的数量关系，并加以证明．
(2)【应用】如图2：在（1）的探究情况下，过点E作
于点G，若
，求
的长．
(3)【拓展探究】如图3，若点F是上的一个动点，且始终满足
，设
，请你直接写出
的最小值．
的边长为6，点E是对角线上的动点，连接． (1)【探究】如图1：若过点E作
交于点F，经过探究，请你猜想与的数量关系，并加以证明．(2)【应用】如图2：在（1）的探究情况下，过点E作
于点G，若，求的长．(3)【拓展探究】如图3，若点F是
上的一个动点，且始终满足，设，请你直接写出的最小值．
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中，直线
与坐标轴分别交于A、B两点，抛物线
过A、B两点，点D为线段
轴于点C，交抛物线于点E．
，求出点D的坐标．
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【推荐1】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)写出2个所学的特殊四边形是垂美四边形： ， ；
(2)性质探究：已知：如图1，四边形是垂美四边形，对角线、相交于点
．猜想：
与
有什么关系？并证明你的猜想；
(3)问题解决：如图2，分别以
的直角边和斜边为边向外作等腰
和等腰
，连接
，
，，已知
，
．求的长．
(1)写出2个所学的特殊四边形是垂美四边形： ， ；
(2)性质探究：已知：如图1，四边形
是垂美四边形，对角线、相交于点．猜想：与有什么关系？并证明你的猜想；(3)问题解决：如图2，分别以
的直角边和斜边为边向外作等腰和等腰，连接，，，已知，．求的长．
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【推荐2】阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
如图①，在等边
中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．
(1)点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：
（SAS），请完成剩余证明过程：
(2)拓展：如图③，在正方形A1B1C1D1中，
是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．
如图①，在等边
中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．(1)点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：
（SAS），请完成剩余证明过程：(2)拓展：如图③，在正方形A1B1C1D1中，
是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．
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【推荐3】如图1，在正方形ABCD中，AD＝9，点P是对角线BD上任意一点（不与B、D重合），点O是BD的中点，连接PC，过点P作PE⊥PC交直线AB于点E．
初步感知：当点P与点O重合时，比较：PC PE（选填“＞”、“＜”或“＝”）．
再次感知：如图1，当点P在线段OD上时，如何判断PC和PE数量关系呢？
甲同学通过过点P分别向AB和BC作垂线，构造全等三角形，证明出PC＝PE；
乙同学通过连接PA，证明出PA＝PC，∠PAE＝∠PEA，从而证明出PC＝PE．
理想感悟：如图2，当点P落在线段OB上时，判断PC和PE的数量关系，并说明理由．
拓展应用：连接AP，并延长AP交直线CD于点F．
（1）当
＝时，如图3，直接写出
的面积为 ；
（2）直接写出面积S的取值范围．
初步感知：当点P与点O重合时，比较：PC PE（选填“＞”、“＜”或“＝”）．
再次感知：如图1，当点P在线段OD上时，如何判断PC和PE数量关系呢？
甲同学通过过点P分别向AB和BC作垂线，构造全等三角形，证明出PC＝PE；
乙同学通过连接PA，证明出PA＝PC，∠PAE＝∠PEA，从而证明出PC＝PE．
理想感悟：如图2，当点P落在线段OB上时，判断PC和PE的数量关系，并说明理由．
拓展应用：连接AP，并延长AP交直线CD于点F．
（1）当
＝时，如图3，直接写出的面积为 ；（2）直接写出
面积S的取值范围．
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真题
【推荐1】如图，⊙M过坐标原点O，分别交两坐标轴于A（1，O），B（0，2）两点，直线CD交x轴于点C（6，0），交y轴于点D（0，3），过点O作直线OF，分别交⊙M于点E，交直线CD于点F．
（1）求证：∠CDO=∠BAO；
（2）求证：OE•OF=OA•OC；
（3）若OE=
，试求点F的坐标．
（1）求证：∠CDO=∠BAO；
（2）求证：OE•OF=OA•OC；
（3）若OE=
，试求点F的坐标．
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【推荐2】如图，在正方形中，是边上一点，
于点，连接
，
交于点．
(1)求证：
；
(2)若为中点，
①求证：
②连接
，若
，求正方形的边长．
中，是边上一点，于点，连接，交于点． (1)求证：
；(2)若
为中点，①求证：
②连接
，若，求正方形的边长．
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的值；
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【推荐1】如图，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且PA＝PB，点M是⊙O外一点，MB与⊙O相切于点B，连接OM，过点A作
交⊙O于点C，连接BC交OM于点D．
(1)求证：MC是⊙O的切线；
(2)若
，
，连接PC，求PC的长．
交⊙O于点C，连接BC交OM于点D．(1)求证：MC是⊙O的切线；
(2)若
，，连接PC，求PC的长．
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名校
【推荐2】如图，△ABC内接于⊙O，弦CD平分∠ACB，点E为弧AD上一点，连接CE、DE，CD与AB交于点N．
（1）如图1，求证：∠AND=∠CED；
（2）如图2，AB为⊙O直径，连接BE、BD，BE与CD交于点F，若2∠BDC=90°﹣∠DBE，求证：CD=CE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OF，若BE=BD+4，BC=
，求线段OF的长．
（1）如图1，求证：∠AND=∠CED；
（2）如图2，AB为⊙O直径，连接BE、BD，BE与CD交于点F，若2∠BDC=90°﹣∠DBE，求证：CD=CE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OF，若BE=BD+4，BC=
，求线段OF的长．
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解答题-证明题
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【推荐3】综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在
中，
，
的平分线交边于点E，交边的延长线于点F，以
为邻边作
．
特例探究：（1）如图1，“创思”小组的同学研究了四边形为矩形时的情形，发现四边形
是正方形，请你证明这一结论；
（2）“敏学”小组的同学在图1基础上连接
，得到图2，发现图2中线段
与之间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由；
拓展延伸：（3）“善问”小组的同学计划对展开类似研究．如图3，在中，
．
请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择________题．
A：当，
时，请补全图形，并直接写出A，G两点之间的距离．
B：当时，请补全图形，并直接写出以A，C，G为顶点的三角形面积的最小值．
问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在
中，，的平分线交边于点E，交边的延长线于点F，以为邻边作． 特例探究：（1）如图1，“创思”小组的同学研究了四边形
为矩形时的情形，发现四边形是正方形，请你证明这一结论；（2）“敏学”小组的同学在图1基础上连接
，得到图2，发现图2中线段与之间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由；拓展延伸：（3）“善问”小组的同学计划对
展开类似研究．如图3，在中，．请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择________题．
A：当
，时，请补全图形，并直接写出A，G两点之间的距离．B：当
时，请补全图形，并直接写出以A，C，G为顶点的三角形面积的最小值．
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