如图，
中，
，
，
，点
分别是边
、
上的一个动点，且
，过点
作
交射线于点
，交线段
于点
，设
(1)如图1，当点和点
重合时，求
的面积；
(2)如图2，设当点在的延长线上时，
，求
关于
的函数解析式，并求出定义域；
(3)若
为直角三角形，求的值．
中，，，，点分别是边、上的一个动点，且，过点作交射线于点，交线段于点，设 (1)如图1，当点
和点重合时，求的面积；(2)如图2，设当点
在的延长线上时，，求关于的函数解析式，并求出定义域；(3)若
为直角三角形，求的值．
23-24八年级上·上海·期末 查看更多[2]
上海市上海外国语大学附属中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（已下线）专题10 特殊三角形的存在性（含2024年崇明、闵行一模）-2024年中考数学高频易错重难点通关讲解练（上海专用）
更新时间：2024-01-16 10:43:13
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较难
(0.4)
【推荐1】如图1，在平行四边形
中，
为边
上一动点，连接
交对角线于点，
平分
交于点
．
(1)如图1，若
，求证：点是
的中点；
(2)如图2，在（1）的条件下，若对角线
，求的长；
(3)如图3，若
，的垂直平分线交的延长线于，判断
三线段之间的数量关系，并说明理由．
中，为边上一动点，连接交对角线于点，平分交于点．(1)如图1，若
，求证：点是的中点；(2)如图2，在（1）的条件下，若对角线
，求的长；(3)如图3，若
，的垂直平分线交的延长线于，判断三线段之间的数量关系，并说明理由．
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(0.4)
【推荐2】如图，已知点是等边内一点，且
，
，
．
的度数；
以下是甲，乙，丙三位同学的谈话：
甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转，我选择将
绕点
顺时针旋转60°或绕点
逆时针旋转60°；
乙：我也赞成旋转，不过我是将
进行旋转；
丙：我是将
进行旋转．
请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求的度数；
(2)若改成
，
，
，的度数＝______°，点到
的距离为______；
类比迁移：
(3)已知，
，
，
，
，
，求
的度数．
是等边内一点，且，，．
的度数；以下是甲，乙，丙三位同学的谈话：
甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转，我选择将
绕点顺时针旋转60°或绕点逆时针旋转60°；乙：我也赞成旋转，不过我是将
进行旋转；丙：我是将
进行旋转．请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求
的度数；(2)若改成
，，，的度数＝______°，点到的距离为______；类比迁移：
(3)已知，
，，，，，求的度数．
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中，
．连接
，点G是
绕点B顺时针旋转
．
延长线上，
，连接EG，求EG的长度；
，证明： 
；
，N是平面内一点，满足
，已知
是等腰三角形时，直接写出线段
的长度．
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【推荐1】在平行四边形中，
，
，点、分别为、的两点．
(1)如图1，若
，且
，连接
、
，判断和的数量关系及位置关系，并说明理由；
(2)如图2，
，，求证：
；
(3)如图3，若，点关于的对称点为点
，点
为平行四边形对角线的中点，连接
交
于点，求
的长．
中，，，点、分别为、的两点．(1)如图1，若
，且，连接、，判断和的数量关系及位置关系，并说明理由；(2)如图2，
，，求证：；(3)如图3，若
，点关于的对称点为点，点为平行四边形对角线的中点，连接交于点，求的长．
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，
，求证：
．
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解题方法
【推荐3】（1）模型探究：如图1，已知△ABC，以A为旋转中心将边AB顺时针旋转至AD，将边AC逆时针旋转至AE，旋转角均为α（0º＜α＜180º），连接BE，CD．
①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；
②△ABE可以认为是由△ADC经过怎样的变换得到的？
（2）创新应用：如图2，在平面直角坐标系中，点A的坐标为
，点P为坐标平面内一动点，且
，连接PA，以点A为旋转中心，将线段PA顺时针旋转60º至BA，连接OB，请直接写出
的最大值及此时点P的坐标．
①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；
②△ABE可以认为是由△ADC经过怎样的变换得到的？
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，点P为坐标平面内一动点，且，连接PA，以点A为旋转中心，将线段PA顺时针旋转60º至BA，连接OB，请直接写出的最大值及此时点P的坐标．
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名校
【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y＝﹣
x+4，与x轴交于点C，∠BCO＝30°．直线l上有一点B的横坐标为
，点A是OC的中点．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）在直线AB上有两点P，Q（P在Q的上方），且PQ＝2，当△OPQ的周长最小时，点P沿适当的路径到达x轴上的点M，再沿x轴正方向到达点C，求PM+
CM的最小值；
（3）直线AB与y轴交于点H．将△OBH沿AB翻折得到△HBG，M为直线AB上一动点，N为平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以H、M、N、G为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，说明理由．
x+4，与x轴交于点C，∠BCO＝30°．直线l上有一点B的横坐标为，点A是OC的中点．（1）求直线AB的函数表达式；
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，当△OPQ的周长最小时，点P沿适当的路径到达x轴上的点M，再沿x轴正方向到达点C，求PM+CM的最小值；（3）直线AB与y轴交于点H．将△OBH沿AB翻折得到△HBG，M为直线AB上一动点，N为平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以H、M、N、G为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，说明理由．
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【推荐2】在Rt△ABC中，AC＝BC＝8
，点D是边AB的中点，连接CD，点E是边BC所在直线上任意一点，连接DE，以DE为边在DE的左侧作正方形DEFG，连接CF．
(1)如图①，当点E在线段BC上且CE＜
BC时，请写出线段CD，CF，CE之间的数量关系并证明；
(2)如图②，当点E在线段BC的延长线上时，（1）中的结论是否成立；若成立，请证明；若不成立，请写出新结论，并证明；
(3)当正方形DEFG的边长为5时，直接写出CE的长．
，点D是边AB的中点，连接CD，点E是边BC所在直线上任意一点，连接DE，以DE为边在DE的左侧作正方形DEFG，连接CF．(1)如图①，当点E在线段BC上且CE＜
BC时，请写出线段CD，CF，CE之间的数量关系并证明；(2)如图②，当点E在线段BC的延长线上时，（1）中的结论是否成立；若成立，请证明；若不成立，请写出新结论，并证明；
(3)当正方形DEFG的边长为5
时，直接写出CE的长．
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【推荐3】在一个数学活动中，若身旁没有量角器或者三角尺，又需要作
，
，
的角，可以采用如下的方法：
【操作感知】
第一步：对折矩形纸片
，使
与
重合，得到折痕
，把纸片展开．
第二步；再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕
，同时得到线段
（如图1）．
【猜想论证】
(1)写出图1中一个
的角：___________．
(2)若延长
交于点
，如图
所示，试判断
的形状，并证明．
【迁移探究】
(3)小华将矩形纸片换正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照
操作感知
的方式操作，并延长交
于点
，连接
．当点
在上时，
，求正方形的边长．
，，的角，可以采用如下的方法：【操作感知】
第一步：对折矩形纸片
，使与重合，得到折痕，把纸片展开．第二步；再一次折叠纸片，使点
落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段（如图1）．【猜想论证】
(1)写出图1中一个
的角：___________．(2)若延长
交于点，如图所示，试判断的形状，并证明．【迁移探究】
(3)小华将矩形纸片换正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片
按照操作感知的方式操作，并延长交于点，连接．当点在上时，，求正方形的边长．
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