如图抛物线
与
轴交于
，
，与
轴交于
，点坐标为
，且
，点
是抛物线在第四象限上的一个动点，连接
.
(1)请你直接写出点的坐标和直线的解析式；
(2)如图1，连接
，
，与交于点
，令
，求
的最大值；
(3)如图2，点
为
，直线
交抛物线于点，
，直线
交抛物线于点
，
，且
，点
和点
分别为线段
和线段
的中点，求证：直线
过定点，并求出这个定点的坐标．
与轴交于，，与轴交于，点坐标为，且，点是抛物线在第四象限上的一个动点，连接.(1)请你直接写出点
的坐标和直线的解析式；(2)如图1，连接
，，与交于点，令，求的最大值；(3)如图2，点
为，直线交抛物线于点，，直线交抛物线于点，，且，点和点分别为线段和线段的中点，求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标．
更新时间：2024-01-30 17:02:11
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】定义：已知
是关于x的一元二次方程
的两个实数根，若
，且
，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程
的两根为
，因
，
，所以一元二次方程为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断一元二次方程
是否为“限根方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元二次方程
是“限根方程”，且两根
满足
，求k的值；
(3)若关于x的一元二次方程
是“限根方程”，求m的取值范围．
是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断一元二次方程
是否为“限根方程”，并说明理由；(2)若关于x的一元二次方程
是“限根方程”，且两根满足，求k的值；(3)若关于x的一元二次方程
是“限根方程”，求m的取值范围．
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(0.4)
名校
【推荐2】已知：关于的方程
=0没有实数根．
求
的取值范围；
若关于的一元二次方程
有实数根，求证：该方程两根的符号相同；
设中方程的两根分别为
、
，若
，且
为整数，求的最小整数值．
的方程=0没有实数根．求的取值范围；若关于的一元二次方程有实数根，求证：该方程两根的符号相同；设中方程的两根分别为、，若，且为整数，求的最小整数值．
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，n)，交y轴于点A．
x+
的距离相等，求线段PQ长．
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(0.4)
【推荐1】如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台AB（水平）与x轴的距离为6，与y轴交于B点，与滑道AM：y=
交于A，且AB=2，MN⊥x轴，测得MN=1，P到x轴的距离为3，设ON=b．
(1)k的值为_______，点P的坐标是________，b=_________；
(2)当一号球落到P点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动，若它的最高点Q的坐标为（8，5）
①求G的解析式，并说明抛物线G与滑道AM是否还能相交；
②在x轴上有线段NC=1，若一号球恰好能倍NC接住，则NC向上平移距离d的最大值和最小值各是多少？
交于A，且AB=2，MN⊥x轴，测得MN=1，P到x轴的距离为3，设ON=b．(1)k的值为_______，点P的坐标是________，b=_________；
(2)当一号球落到P点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动，若它的最高点Q的坐标为（8，5）
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【推荐2】在平面直角坐标系中，二次函数
的图象与x轴交于
，
两点，与y轴交于点C．
(1)求这个二次函数的解析式及
的函数解析式；
(2)点P是直线上方的抛物线上一动点，设
的面积为S，是否存在点P，使的面积S最大？若存在，请求出S最大值及点P的坐标；若不存在，说明理由；
(3)点Q是直线上方的抛物线上一动点，过点Q作
垂直于x轴，垂足为E，是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与
相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的解析式及
的函数解析式；(2)点P是直线
上方的抛物线上一动点，设的面积为S，是否存在点P，使的面积S最大？若存在，请求出S最大值及点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)点Q是直线
上方的抛物线上一动点，过点Q作垂直于x轴，垂足为E，是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
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【推荐1】如图①，一块材料的形状是锐角三角形
，边
，高
，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在边
，
上．
(1)加工成的正方形零件的边长是多少？
(2)如果原题中要加工成一个矩形零件，且此矩形可由两个大小相同的正方形并排放置组成，如图②，则这个矩形零件的长和宽分别是多少？
(3)图③，如果把这块材料形状改为
的斜板，已知
，
，
，要把它加工成一个形状为平行四边形
的工件，使
在上，P、N两点分别在，上，且
，则平行四边形的面积为______
．
，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在边，上．(1)加工成的正方形零件的边长是多少？
(2)如果原题中要加工成一个矩形零件，且此矩形可由两个大小相同的正方形并排放置组成，如图②，则这个矩形零件的长和宽分别是多少？
(3)图③，如果把这块材料形状改为
的斜板，已知，，，要把它加工成一个形状为平行四边形的工件，使在上，P、N两点分别在，上，且，则平行四边形的面积为______．
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【推荐2】如图，在
中，是一条对角线，且
，
，，是边上两点，点在点的右侧，
，连接
，的延长线与
的延长线相交于点．
(1)如图1，是边上一点，连接
，
，与相交于点
．
①若
，求
的长；
②在满足①的条件下，若
，求证：
；
(2)如图2，连接
，
是上一点，连接
．若
，且
，求
的长．
中，是一条对角线，且，，，是边上两点，点在点的右侧，，连接，的延长线与的延长线相交于点．(1)如图1，
是边上一点，连接，，与相交于点．①若
，求的长；②在满足①的条件下，若
，求证：；(2)如图2，连接
，是上一点，连接．若，且，求的长．
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中，
，
，D是边
沿
，连接
．
落在直线
．
，
，
交
的值，并写出探究过程．
的值．
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【推荐1】如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，抛物线L的函数解析式为 
已知抛物线L： 
经过点
，
，
求抛物线L的函数解析式．
(2)将抛物线L向上平移m(
)个单位得到抛物线
．若抛物线的顶点关于坐标原点 O 的对称点在抛物线L上，求 m的值；(3)如图，点 N为抛物线L的顶点坐标，若平移抛物线L的图象，使其顶点在直线
上运动，且平移后的抛物线与y轴负半轴相交，交点为M，则
面积的最大值为 ．
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(0.4)
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【推荐2】已知抛物线y = mx2 -(1- 4 m)x + c过点(1，a)，(- 1，a)，(0，- 1)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知过原点的直线与该抛物线交于A，B两点（点A在点B右侧），该抛物线的顶点为C，连接AC，BC，点D在点A，C之间的抛物线上运动（不与点A，C重合）．
①当点A的横坐标是4时，若△ABC的面积与△ABD的面积相等，求点D的坐标；
②若直线OD与抛物线的另一交点为E，点F在射线ED上，且点F的纵坐标为- 2，求证：
= 
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知过原点的直线与该抛物线交于A，B两点（点A在点B右侧），该抛物线的顶点为C，连接AC，BC，点D在点A，C之间的抛物线上运动（不与点A，C重合）．
①当点A的横坐标是4时，若△ABC的面积与△ABD的面积相等，求点D的坐标；
②若直线OD与抛物线的另一交点为E，点F在射线ED上，且点F的纵坐标为- 2，求证：
= ．
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(0.4)
解题方法
【推荐3】如图，直线y＝﹣
x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+x+c与x轴的另一个交点为A．
(2)点E是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，当△BCE面积最大时，求出点M的坐标；
(3)在（2）的结论下，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，A，M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标：如果不存在，请说明理由．
x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+x+c与x轴的另一个交点为A．
(2)点E是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，当△BCE面积最大时，求出点M的坐标；
(3)在（2）的结论下，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，A，M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标：如果不存在，请说明理由．
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