【推荐2】如图1，和都是等腰直角三角形，，将△BDE绕点B逆时针旋转（），连接，取中点F，连接，．

(1)如图1，当点D落在边上，点E落在边上时，线段和线段的位置关系是_____，数量关系是______；
(2)如图2，当点D落在内部时，（1）的结论是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．
九年级一班数学兴趣小组的同学提出了三种思路：
小聪：过点D作交线段于点M，过点A作交线段于点N……
小明：延长至点G，使，延长至点H使，连接、……
小智：延长至点P，使，连接，，……
请你选择一种思路，完善证明过程；
(3)若，，在旋转的过程中，当点E，D，F三点共线时，连接，请直接写出的长．

【推荐1】综合与实践：某数学活动小组在探究三角形时，提出了如下数学问题：

问题提出：
(1)已知：如图1所示，平面内三个点A，B，C，，．如图1，BC的长度的最小值为________．
问题解决：
(2)已知：如图2所示，在中，，，以BC为底边向上构造等腰，，连接AD，以AD为腰向外构造等腰，使，且，线段DE的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．
问题应用：
(3)如图3所示，在中，，，，以AC为边向外作等边，连接BD．求BD的长度．

【推荐1】如图，为的直径，弦于点E，点F在上，连结并延长交与点G，连结，．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，与交于点N，过点F作的平行线交于点M，若，求．（用含a的代数式表示）
(3)如图3，在（2）的条件下，连结，若与的面积相等，求的值．

【推荐3】直观感知和操作确认是发现几何学习的重要方式，解决下列问题．
(1)问题提出：如图1，在中，过上一点D作直线交于点E，使所得的三角形与原三角形相似，请画出这样的直线；

(2)操作确认：在（1）的条件下，将沿着过点D的直线折叠，使点C落在射线的点P处，折痕交于点F．判断四边形的形状，写出3条不同类型的性质；
(3)迁移运用：如图2，，在的延长线上取一点M，且满足．
①当，时，求a的值；
②当时，过点M作，并使，求的值．