【推荐1】如图，点为正方形外一点，，将Rt绕点逆时针方向旋转得到的延长线交于点．

(1)试判定四边形的形状，并说明理由；
(2)已知，求的长．

【推荐3】综合与实践：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用的黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙等，
实践操作：下面我们折叠出一个黄金矩形（如图所示）：
第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸展平．

第二步：如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图3中所示的AD处．

第四步：展平纸片，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE（图4）就是黄金矩形．
问题解决：
(1)请在图1中证明四边形MNCB是正方形；
(2)若，请通过计算来说明矩形BCDE是黄金矩形．

【推荐1】如图，在长方形ABCD（长方形四个角都是直角，并且对边相等）中，DC = 5．点E在DC上，沿AE折叠△ADE，使D点与BC边上的点F重合，△ABF的面积是30，求DE的长．
   

【推荐2】已知矩形的一条边，是边上的一点，将矩形沿折痕折叠，使得顶点落在边上的点处，（如图1）．

(1)求的长；
(2)擦去折痕，连接，设是线段上的一个动点（点与点，不重合）．是延长线上的一个动点，并且满足，过点作，垂足为，连结交于点（如图2）．
①若M是的中点，求的长；
②试问当点M、N在移动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度．

【推荐3】如图1，在一张矩形纸片ABCD上任意画一条线段GF，将纸片沿线段GF折叠，

（1）重叠部分的△EFG是等腰三角形吗？请说明理由．
（2）若使点C与点A重合，折叠为GF，如图2，△AFG的面积记为S₁，图3中沿BD折叠，△EBD的面积记为S₂，试问S₁和S₂相等吗？请说明理由．

【推荐1】在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点A(2，0)，点P(1，m)(m＞0)和点Q关于x轴对称．过点P作PB∥x轴，与直线AQ交于点B，如果AP⊥BO，求点P的坐标．

【推荐2】如图，点E是矩形的边延长线上一点，连接交于点G，作交于点F，．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的长；
(3)在（2）的条件下，求的长．

【推荐3】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．

（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）当AC=6时，求出四边形OCED的周长.

【推荐1】如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，BE＝5，求DI的长．

【推荐2】如图，在矩形中，E是上的一点，沿将对折，点D的对称点F刚好落在边上．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．

【推荐3】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．

(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．