【发现问题】如图1，在画展厅，为保护展品，会放置围栏分隔观赏者和展品，现在数学小组想知道围栏位置是否合适，做出以下研究．
【资料查阅】1471年德国数学家米勒也提出过类似问题，如图2，观赏最佳的位置就是展品的最高点A与最低点B与观赏者的眼睛C所形成的视角
最大．
【米勒定理】如图3，当经过A，B，C三点的
与过点C的水平线
相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．这是为什么呢？
请思考后完成填空：
设点
是上任意一个异于C的点，
是
的外角，
______
（填“
、
或
”），
又
______，
．
眼睛位于点C处时，最大．
【问题解决】如图4，在上述定理基础上，假如竖直墙壁上的展品的最高点A距离地面的高度
为3.4米，最低点B距离地面的高度
为2.4米，观赏者的眼睛C距离地面的高度为1.6米，那么围栏放在什么位置最合适呢？
【资料查阅】1471年德国数学家米勒也提出过类似问题，如图2，观赏最佳的位置就是展品的最高点A与最低点B与观赏者的眼睛C所形成的视角
最大．【米勒定理】如图3，当经过A，B，C三点的
与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．这是为什么呢？请思考后完成填空：
设点
是上任意一个异于C的点，是的外角，______（填“、或”），又
______，．眼睛位于点C处时，最大．【问题解决】如图4，在上述定理基础上，假如竖直墙壁上的展品的最高点A距离地面的高度
为3.4米，最低点B距离地面的高度为2.4米，观赏者的眼睛C距离地面的高度为1.6米，那么围栏放在什么位置最合适呢？
更新时间：2024-02-03 16:30:41
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【推荐1】如图，在
中，
，点P为斜边
上一动点，将
沿直线
折叠，使得点B的对应点为
．
，求证：
；
(2)如图2，连接
，若
，且
，求出
的值；
(3)如图3，连接，若
，是否存在点P，使得，若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由．
中，，点P为斜边上一动点，将沿直线折叠，使得点B的对应点为．
，求证：；(2)如图2，连接
，若，且，求出的值；(3)如图3，连接
，若，是否存在点P，使得，若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由．
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【推荐2】【基础巩固】
（1）如图1，在
中，D为
上一点，
．求证：
．
【尝试应用】
（2）如图2，在平行四边形
中，E为上一点，F为
延长线上一点，
．若
，
，求
的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形中，E是上一点，F是内一点，
，
， 
，
，
，则菱形的边长为______．
（1）如图1，在
中，D为上一点，．求证：．【尝试应用】
（2）如图2，在平行四边形
中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，，求的长．【拓展提高】
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【推荐3】（1）【方法回顾】连接三角形任意两边中点的线段叫三角形的中位线，探索三角形中位线的性质，方法如下：
①如图1，D、E分别是AB、AC中点，延长DE到F，使EF=DE，连接CF；
②证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形，从而得到线段DE与BC的位置关系和数量关系分别为_______、________；
（2）【初步运用】如图2，正方形ABCD中，E为边AD中点，G、F分别在边AB、CD上，且AG＝2，DF＝3，∠GEF＝90°，求GF长．
（3）【拓展延伸】如图3，四边形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝110°，E为AD中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝2，DF＝
，∠GEF＝90°，求GF长．
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【推荐1】如图，
为正方形对角线
上一点（不与
、
重合），
于
，
于
，连接
．
求证：
(1)
；
(2)
．
为正方形对角线上一点（不与、重合），于，于，连接． 求证：
(1)
；(2)
．
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解题方法
【推荐2】问题提出
（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=
米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD．AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．
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米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD．AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．
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【推荐3】【模型建立】
如图1，正方形中，点E，F分别在边，上，
，
与相交于点P．，有什么数量关系?请说明理由．
如图2，请仅用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不用证明）
（1）以为边画正方形；
（2）取中点E，连接：
（3）在上找点G，连接
，使
．
如图3，正方形中，点E，F分别在边，上，将正方形沿折叠，点A，D的对应点分别为
，
，使得点始终落在边上，
与相交于点G．
（1）若
，
，求
的长度；
（2）点E，F在边，上运动时，连接
，则
的大小是否发生改变，若不变，求出大小，若改变，请说明理由．
如图1，正方形
中，点E，F分别在边，上，，与相交于点P．，有什么数量关系?请说明理由．
如图2，请仅用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不用证明）
（1）以
为边画正方形；（2）取
中点E，连接：（3）在
上找点G，连接，使．
如图3，正方形
中，点E，F分别在边，上，将正方形沿折叠，点A，D的对应点分别为，，使得点始终落在边上，与相交于点G．（1）若
，，求的长度；（2）点E，F在边
，上运动时，连接，则的大小是否发生改变，若不变，求出大小，若改变，请说明理由．
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【推荐1】如图1，在平面直角坐标系中，有矩形AOBC，点A、B的坐标分别为（0，4）、（10，0），点P的坐标为（2，0），点M在线段AO上，点N在线段AC上，总有∠MPN=90 º，点M从点O运动到点A，当点M运动到A点时，点N与点C重合（如图2）．令AM=x
(1)直接写出点C的坐标___________；
(2)①设MN2=y，请写出y关于x的函数关系式，并求出y的最小值；
②连接AP交MN于点D，若MN⊥A P，求x的值；
(3)当点M在边AO上运动时，∠PMN的大小是否发生变化？请说明理由.
(1)直接写出点C的坐标___________；
(2)①设MN2=y，请写出y关于x的函数关系式，并求出y的最小值；
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【推荐2】如图，由小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，经过
，，
三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图
画图过程用虚线，结果用实线
．
(1)在图
中标出圆心
，并在圆上找一点，使
平分弧
；
(2)在图
中的圆上画一点
，使
平分
．
(3)如图
，的顶点，均在格点上，顶点在网格线上，
，是如图所示的的外接圆上的动点，当
时，请用无刻度的直尺，在圆上画出点．
经过，，三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图画图过程用虚线，结果用实线．(1)在图
中标出圆心，并在圆上找一点，使平分弧；(2)在图
中的圆上画一点，使平分．(3)如图
，的顶点，均在格点上，顶点在网格线上，，是如图所示的的外接圆上的动点，当时，请用无刻度的直尺，在圆上画出点．
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(0.4)
名校
【推荐1】图形旋转是解决几何问题的一种重要方法．如图1，正方形中，
分别在边
上，且
，连接，试探究
之间的数量关系．解决这个问题可将
绕点逆时针旋转
到
的位置（易得出点
在的延长线上），进一步证明
与
全等，即可解决问题．中，
，则
______；
(2)如图2，正方形中，若
，过点作
交于点，请计算
与
的比值，写出解答过程；
(3)如图3，若
，正方形的边长
，试探究面积的最小值．
中，分别在边上，且，连接，试探究之间的数量关系．解决这个问题可将绕点逆时针旋转到的位置（易得出点在的延长线上），进一步证明与全等，即可解决问题．
中，，则______；(2)如图2，正方形
中，若，过点作交于点，请计算与的比值，写出解答过程；(3)如图3，若
，正方形的边长，试探究面积的最小值．
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(0.4)
【推荐2】如图，AB，AC是⊙O的弦，过点C作CE⊥AB于点D，交⊙O于点E，过点B作BF⊥AC于点F，交CE于点G，连接BE．
（1）求证：BE＝BG；
（2）过点B作BH⊥AB交⊙O于点H，若BE的长等于半径，BH＝4，AC＝4，求CD的长．
（1）求证：BE＝BG；
（2）过点B作BH⊥AB交⊙O于点H，若BE的长等于半径，BH＝4，AC＝4
，求CD的长．
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，点C是弧AB上的一个动点（不与点
、
，垂足分别为D、E．
时，线段
；
的度数= °时，四边形
成为菱形；
的四个顶点在同一个圆上；
，垂足为
中是否存在保持不变的角？如果存在，请指出这个角并求出它的度数；如果不存在，请说明理由；
